Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos uma praça com uma área retangular que mede 20 metros de comprimento e 16 metros de largura. Dentro desse retângulo, queremos construir um jardim com forma de elipse, ou seja, uma espécie de “círculo alongado”. Além disso, vamos colocar dois aspersores nos focos da elipse para regar o jardim. A pergunta é: qual será a distância entre esses dois aspersores?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados às elipses, especialmente sobre os focos e como calcular a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse tem dois eixos principais: o eixo maior e o eixo menor. O eixo maior é o comprimento maior da elipse, e o eixo menor é o mais curto. No nosso caso, como a elipse está inscrita em um retângulo de 20m por 16m, o eixo maior da elipse vai coincidir com o comprimento do retângulo (20m) e o eixo menor com a largura (16m).
Então, o comprimento do eixo maior (2a) é 20 metros. Dessa forma, o valor de “a” (semi-eixo maior) é a metade disso:
a = 202 = 10 metros

Passo 3

Agora, o comprimento do eixo menor (2b) é 16 metros. Então, o valor de “b” (semi-eixo menor) é:
b = 162 = 8 metros

Passo 4

Para encontrar a distância entre os focos da elipse, usamos a relação matemática que envolve “a”, “b” e “c”, onde “c” é a distância do centro da elipse até cada foco. A fórmula é:
c = raiza^2 - b^2
Vamos calcular “c”:
c = raiz10^2 - 8^2 = raiz100 - 64 = raiz36 = 6 metros

Passo 5

A distância total entre os dois focos é o dobro de “c”, porque cada foco fica a uma distância “c” do centro em direções opostas. Então:
Distância entre os focos = 2c = 2 times 6 = 12 metros â

Resposta

A distância entre os aspersores será de 12 metros.

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