Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
rlx+2 y-3 z & =a 3 x-y+2 z & =b, x-5 y+8 z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x+2y-3z = a, 3x-y+2z = b, x-5y+8z = c
e pede para que a condição em (a,b,c) garanta que exista solução. Vamos usar Álgebra Linear: calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, se for zero, impor a consistência pela relação entre as equações.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
M = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 2 1 & -5 & 8
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(M) = 1cdotdet!-1&2-5&8 -2cdotdet!3&21&8 -3cdotdet!3&-11&-5
Calculando cada menor:
det!-1&2-5&8 =(-1)cdot8 - 2cdot(-5)=2,
det!3&21&8 =3cdot8 -2cdot1=22,
det!3&-11&-5 =3cdot(-5)-(-1)cdot1 = -14
Logo
det(M)=1cdot2 -2cdot22 -3cdot(-14) =2 -44 +42 = 0

Passo 3

Como det(M)=0, o sistema só tem solução se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Isso equivale a exigir que a terceira equação seja combinação linear das duas primeiras.

Passo 4

Procuramos
Igualando coeficientes:
Da primeira e segunda vem , e a terceira confere. Assim
Aplicando isso nas constantes, exigimos

Resposta

A condição para que o sistema tenha solução é
c = b - 2a

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