Determine a condição que os números reais e devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x+2y-3z = a, 3x-y+2z = b, x-5y+8z = c
e pede para que a condição em (a,b,c) garanta que exista solução. Vamos usar Álgebra Linear: calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, se for zero, impor a consistência pela relação entre as equações.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
M = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 2 1 & -5 & 8
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Como det(M)=0, o sistema só tem solução se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Isso equivale a exigir que a terceira equação seja combinação linear das duas primeiras.
Passo 4
Procuramos
Igualando coeficientes:
Da primeira e segunda vem , e a terceira confere. Assim