Determine F(s) ou f(t), conforme indicado.
44. Lsen t U(t-pi2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
sin t,Ul(t-tfracpi2r).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de mudança de tempo para sinal com degrau: se
f(t),U(t-a)
então
Lf(t),U(t-a) =integrala^inftyf(t)e^-st,dt =e^-asintegral0^inftyf(tau+a)e^-stau,dtau

Passo 2

Escrevemos
sin t,Ul(t-ar) =sinl((t-a)+ar),U(t-a),
e fazemos a mudança de variável tau=t-a. Com isso
Lsin t,U(t-a) =e^-asintegral0^inftysin(tau+a),e^-stau,dtau

Passo 3

Para avaliar
integral0^inftysin(tau+a)e^-stau,dtau,
usamos a identidade de soma de ângulos e linearidade:
sin(tau+a) =sin acostau+cos asintau,
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integral0^inftysin(tau+a)e^-stau,dtau =sin aintegral0^inftycostau,e^-stau,dtau +cos aintegral0^inftysintau,e^-stau,dtau
E como
Lcostau= tfracss^2+1
e
Lsintau= tfrac1s^2+1,
temos
integral0^inftysin(tau+a)e^-stau,dtau =sin a;ss^2+1 +cos a;1s^2+1 =ssin a+cos as^2+1

Passo 4

Voltando ao fator e^-as e tomando a=tfracpi2, em que sinl(tfracpi2r)=1 e cosl(tfracpi2r)=0, obtemos
Llsin t,Ul(t-tfracpi2r)r =e^-pi2s,scdot1+0s^2+1 =e^-pi2s,ss^2+1

Resposta

F(s) =Lsin t,U(t-tfracpi2) =e^-pi2s,ss^2+1

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