( 1,5 pontos) Um paciente de um hospital recebe 3 unidades intravenosas de uma certa medicação por hora. A medicação é eliminada exponencialmente, de modo que a fração que permanece no corpo do paciente por thoras é
. Se o tratamento continua indefinidamente, aproximadamente quantas unidades da medicação estarão no corpo do paciente a longo prazo
?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e o que precisamos. O paciente recebe a cada hora uma dose de
unidades da medicação. Cada dose se elimina exponencialmente segundo
onde
é o tempo em horas decorridas desde a administração daquela dose. Como o tratamento continua indefinidamente, queremos somar as contribuições de todas as doses passadas no instante muito longo, ou seja, calcular o limite do total de medicação no corpo quando
.
Passo 2
Modelamos o total de medicação no corpo num instante grande
como a soma das doses administradas em horas inteiras anteriores. A dose aplicada
horas antes de
terá decaído por
horas, ficando com valor
Logo, o total no instante
é
Para
, isso vira uma série infinita.
Passo 3
Note que essa é uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
onde
. A soma da série é dada por
Passo 4
Substituindo
e
, o valor assintótico da quantidade de medicação é
Para avaliar numericamente, usamos
, então
e daí
Passo 5
Concluímos, portanto, que a longo prazo o paciente terá aproximadamente
unidades da medicação em seu corpo.
Resposta
Aproximadamente
unidades.