( 1,5 pontos) Um paciente de um hospital recebe 3 unidades intravenosas de uma certa medicação por hora. A medicação é eliminada exponencialmente, de modo que a fração que permanece no corpo do paciente por thoras é f(t)=3 e^-t10. Se o tratamento continua indefinidamente, aproximadamente quantas unidades da medicação estarão no corpo do paciente a longo prazo (infty) ?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e o que precisamos. O paciente recebe a cada hora uma dose de 3 unidades da medicação. Cada dose se elimina exponencialmente segundo
f(t)=3e^-t/10,
onde t é o tempo em horas decorridas desde a administração daquela dose. Como o tratamento continua indefinidamente, queremos somar as contribuições de todas as doses passadas no instante muito longo, ou seja, calcular o limite do total de medicação no corpo quando ttoinfty.

Passo 2

Modelamos o total de medicação no corpo num instante grande T como a soma das doses administradas em horas inteiras anteriores. A dose aplicada k horas antes de T terá decaído por k horas, ficando com valor
3,e^-k/10
Logo, o total no instante T é
sumk=0^T3,e^-k/10
Para Ttoinfty, isso vira uma série infinita.

Passo 3

Note que essa é uma série geométrica infinita com primeiro termo
a=3
e razão
r=e^-1/10,
onde |r|<1. A soma da série é dada por
sumk=0^inftya,r^k=a1-r

Passo 4

Substituindo a=3 e r=e^-1/10, o valor assintótico da quantidade de medicação é
31-e^-1/10
Para avaliar numericamente, usamos e^-1/10approx0,904837, então
1-e^-1/10approx0,095163
e daí
30,095163approx31,52

Passo 5

Concluímos, portanto, que a longo prazo o paciente terá aproximadamente 31,5 unidades da medicação em seu corpo.

Resposta

Aproximadamente 31,5 unidades.

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