(1,5 pontos) A função p=D(q) que expressa o preço que os consumidores estão dispostos a pagar pela q-ésima unidade de uma mercadoria é chamada de função de demanda do consumidor para a mercadoria, que também pode ser interpretada como a taxa de variação com q da quantia total A(q) que os consumidores estão dispostos a pagar para adquirir q unidades, ou seja, d Ad q. Integrando esta equação, verificamos que a quantia total que os consumidores estão dispostos a pagar por q0 unidades de um produto é dada por:
A(q0)-A(0)=integral0^q0 d Ad q d q=integral0^q0 D(q) d q
Neste contexto, os economistas chamam A(q) de disposição total para gastar. Em termos geométricos, a disposição total para gastar com q0 unidades é a área sob a curva de demanda p=D(q) entre q=0 e q=q0. Diante do exposto, determine a quantia total que os consumidores estão dispostos a gastar para adquirir 4 unidades de um certo produto que tem como função de demanda do consumidor D(q)=3(20-q^2) reais por unidade.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda do consumidor D(q)=3l(20-q^2r) (em reais por unidade) e pede a disposição total para gastar ao adquirir 4 unidades. Sabemos que essa disposição total, A(q0)-A(0), é a área sob a curva de demanda de q=0 até q=q0, ou seja,
A(q0)-A(0)=integral0^q0D(q),dq
Aqui vamos usar cálculo de integrais para obter essa área.

Passo 2

Aplicando a fórmula para q0=4, temos
A(4)-A(0)=integral0^4D(q),dq =integral0^43l(20-q^2r),dq

Passo 3

Para calcular essa integral, fatoramos o 3:
integral0^43l(20-q^2r),dq =3(integral0^420,dq-integral0^4q^2,dq)
Agora,
integral0^420,dq=20q|0^4=20cdot4=80,
integral0^4q^2,dq=q^33|0^4=4^33=643
Logo,
A(4)-A(0)=3l(80-tfrac643r) =3l(tfrac240-643r) =3cdottfrac1763 =176

Resposta

A quantia total que os consumidores estão dispostos a gastar para adquirir 4 unidades é de R$ 176,00.

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