Resolva as seguintes equações diofantinas:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver em inteiros a equação
Informações fornecidas:
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - Termo independente (lado direito) é
.
O que queremos: encontrar todos os pares
de números inteiros que satisfaçam essa igualdade, ou concluir que não existem tais pares.
Passo 2
Qual é o critério de existência de soluções inteiras? Vou explicar isso com calma.
Teorema (condição de existência). Para a equação linear diofantina
com
e
, existe solução inteira se, e somente se,
divide
(escrevemos
). Ou seja, se
não for múltiplo de
, a equação não tem solução inteira.
Por que isso faz sentido?
- Se
é o maior divisor comum de e , então e para inteiros com . Substituindo na equação obtemos . Assim precisa dividir para que haja solução inteira para . - O verso também vale: se
então podemos dividir tudo por e resolver a equação reduzida; um método prático para encontrar uma solução é o algoritmo de Euclides estendido, que dá uma combinação linear de e igual a (identidade de Bézout), e multiplicando essa combinação por obtemos uma solução particular.
Vou então calcular
para aplicar esse critério.
Passo 3
Calcular
usando o algoritmo de Euclides (passo a passo). O algoritmo faz divisões sucessivas e usa restos; aqui são divisões inteiras:
Primeira divisão:
O resto é
, então o algoritmo termina imediatamente. Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o gcd. Portanto
Comentário didático curto sobre o que aconteceu: isso significa que
divide exatamente
(pois
), então o maior divisor comum é
.
Passo 4
Aplicar o critério de existência: como
, a equação
só pode ter solução inteira se
divide
, isto é, se existir um inteiro
com
.
Mas
e
não é múltiplo de
. Em termos formais,
. Logo a condição necessária e suficiente para existência de solução não é satisfeita.
Passo 5
Conclusão lógica (explicada de maneira amigável): como o maior divisor comum dos coeficientes é
e
não divide o lado direito
, não existe nenhum par de inteiros
que torne verdadeira a equação. Se
fosse múltiplo de
(por exemplo
igual a
ou
etc.), então existiriam soluções e eu mostraria como usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular e, a partir dela, a solução geral
onde
é uma solução particular e
. Mas aqui esse passo não se aplica porque não há solução particular.
Força aí — a parte de decidir se há solução ou não costuma ser a parte-chave em prova rápida: calcula o gcd e verifica divisibilidade.
Resposta
Não existem soluções inteiras para
.