Resolva as seguintes equações diofantinas:
(b) 93 x+31 y=15.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em inteiros a equação
93x+31y=15.
Informações fornecidas:
  • Coeficiente de x é 93.
  • Coeficiente de y é 31.
  • Termo independente (lado direito) é 15.
O que queremos: encontrar todos os pares (x,y) de números inteiros que satisfaçam essa igualdade, ou concluir que não existem tais pares.

Passo 2

Qual é o critério de existência de soluções inteiras? Vou explicar isso com calma.
Teorema (condição de existência). Para a equação linear diofantina
ax+by=c
com a,b,c\in\mathbb{Z} e d=\gcd(a,b), existe solução inteira se, e somente se, d divide c (escrevemos d\mid c). Ou seja, se c não for múltiplo de d, a equação não tem solução inteira.
Por que isso faz sentido?
  • Se d é o maior divisor comum de a e b, então a= d\cdot a' e b=d\cdot b' para inteiros a',b' com \gcd(a',b')=1. Substituindo na equação obtemos d(a'x+b'y)=c. Assim d precisa dividir c para que haja solução inteira para x,y.
  • O verso também vale: se d\mid c então podemos dividir tudo por d e resolver a equação reduzida; um método prático para encontrar uma solução é o algoritmo de Euclides estendido, que dá uma combinação linear de a e b igual a d (identidade de Bézout), e multiplicando essa combinação por c/d obtemos uma solução particular.
Vou então calcular d=\gcd(93,31) para aplicar esse critério.

Passo 3

Calcular \gcd(93,31) usando o algoritmo de Euclides (passo a passo). O algoritmo faz divisões sucessivas e usa restos; aqui são divisões inteiras:
Primeira divisão:
93 = 31\cdot 3 + 0.
O resto é 0, então o algoritmo termina imediatamente. Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o gcd. Portanto
\gcd(93,31)=31.
Comentário didático curto sobre o que aconteceu: isso significa que 31 divide exatamente 93 (pois 93=3\cdot31), então o maior divisor comum é 31.

Passo 4

Aplicar o critério de existência: como d=\gcd(93,31)=31, a equação 93x+31y=15 só pode ter solução inteira se 31 divide 15, isto é, se existir um inteiro k com 15=31k.
Mas 31>15 e 15 não é múltiplo de 31. Em termos formais, 31\nmid 15. Logo a condição necessária e suficiente para existência de solução não é satisfeita.

Passo 5

Conclusão lógica (explicada de maneira amigável): como o maior divisor comum dos coeficientes é 31 e 31 não divide o lado direito 15, não existe nenhum par de inteiros (x,y) que torne verdadeira a equação. Se 15 fosse múltiplo de 31 (por exemplo 15 igual a 31 ou 62 etc.), então existiriam soluções e eu mostraria como usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular e, a partir dela, a solução geral
x=x_0+\frac{b}{d}t,\qquad y=y_0-\frac{a}{d}t,\quad t\in\mathbb{Z},
onde (x_0,y_0) é uma solução particular e d=\gcd(a,b). Mas aqui esse passo não se aplica porque não há solução particular.
Força aí — a parte de decidir se há solução ou não costuma ser a parte-chave em prova rápida: calcula o gcd e verifica divisibilidade.

Resposta

Não existem soluções inteiras para 93x+31y=15.

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