Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x+3)^24-(y-1)^25=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x+3)^24-(y-1)^25=1
e pede para identificar a cônica e esboçar seu gráfico com centro, vértices, focos, eixos e assíntotas. O conteúdo é identificação e geometria de hipérboles em forma padrão.

Passo 2

Comparando com a forma padrão da hipérbole horizontal
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1
vemos que o centro (h,k) é (-3,1), que a^2=4 e que b^2=5.

Passo 3

Extraímos
a=raiz4=2, b=raiz5

Passo 4

Para hipérbole horizontal vale
c^2=a^2+b^2=4+5=9 ;Longrightarrow; c=3
Os vértices estão em
(hpm a,k)=(-3pm2,,1) ;Longrightarrow; V1=(-1,1),;V2=(-5,1)
Os focos estão em
(hpm c,k)=(-3pm3,,1) ;Longrightarrow; F1=(0,1),;F2=(-6,1)

Passo 5

As assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular pm b/a. Logo,
y-1=pmraiz52(x+3)
Para esboçar: desenhe os eixos, marque o centro C=(-3,1), os vértices V1 e V2, os focos F1 e F2, trace as assíntotas dadas acima e desenhe os ramos da hipérbole abrindo para a direita (em torno de V1) e para a esquerda (em torno de V2).

Resposta

A cônica é uma hipérbole centrada em (-3,1), de semi-eixo real a=2 e semi-eixo imaginário b=raiz5.
Centro: (-3,1)
Vértices: (-1,1) e (-5,1)
Focos: (0,1) e (-6,1)
Assíntotas:
y-1=raiz52(x+3), y-1=-raiz52(x+3)

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