Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
x^2+4 x+4 y^2+8 y+4=0;

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^2 + 4x + 4y^2 + 8y + 4 = 0
e pede para identificar de que tipo de cônica se trata, escrever na forma padrão e esboçar o gráfico com centro (ou vértice), eixos, focos e vértices.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em y.
Para x:
x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4
Para y:
4y^2 + 8y = 4l(y^2 + 2yr) =4l((y+1)^2 -1r) =4(y+1)^2 - 4
Substituindo na equação original:
(x+2)^2 - 4 ;+; l[4(y+1)^2 - 4r] ;+;4 = 0 ;Longrightarrow; (x+2)^2 + 4(y+1)^2 -4 = 0

Passo 3

Isolando o termo constante:
(x+2)^2 + 4(y+1)^2 = 4 Longrightarrow (x+2)^24 + (y+1)^21 = 1
Esta é a forma padrão de uma elipse.

Passo 4

Da forma
vemos que (isto é, ) e (isto é, ), com , logo o eixo maior é horizontal.
Centro: .
Vértices no eixo maior:
Vértices no eixo menor:
Para os focos usamos , .
Focos:
Esboço (aproximado):
             y
             |
        (*)  |  (*)   \leftarrow \text{vértices menor eixo em } (-2,0) \text{ e } (-2,-2)
         |   |
   (*)----\(+\)----(*)    \leftarrow \text{vértices maior eixo em } (-4,-1) \text{ e } (0,-1)
         |   |
             |
             \(+\)\text{———} x
No esboço o “ ” marca o centro , os “(*)” marcam os quatro vértices, e os focos estão levemente mais próximos do centro ao longo do eixo maior.

Resposta

A cônica é uma elipse e, em forma padrão, sua equação é
(x+2)^24 + (y+1)^2 = 1
Centro C=(-2,-1), vértices em (-4,-1), (0,-1), (-2,0), (-2,-2) e focos em l(-2pmraiz3,,-1r).

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