Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
;
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para identificar de que tipo de cônica se trata, escrever na forma padrão e esboçar o gráfico com centro (ou vértice), eixos, focos e vértices.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e em
.
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Isolando o termo constante:
Esta é a forma padrão de uma elipse.
Passo 4
Da forma
vemos que
(isto é,
) e
(isto é,
), com
, logo o eixo maior é horizontal.
Centro: .
Vértices no eixo maior:
Centro:
Vértices no eixo maior:
Vértices no eixo menor:
Para os focos usamos
,
.
Focos:
Focos:
Esboço (aproximado):
y
|
(*) | (*) \leftarrow \text{vértices menor eixo em } (-2,0) \text{ e } (-2,-2)
| |
(*)----\(+\)----(*) \leftarrow \text{vértices maior eixo em } (-4,-1) \text{ e } (0,-1)
| |
|
\(+\)\text{———} x
No esboço o “
” marca o centro
, os “(*)” marcam os quatro vértices, e os focos estão levemente mais próximos do centro ao longo do eixo maior.
Resposta
A cônica é uma elipse e, em forma padrão, sua equação é
Centro
, vértices em
,
,
,
e focos em
.