Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
5 y^2-6 x-3 x^2-10 y-13=0;

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica
5y^2-6x-3x^2-10y-13=0
convertê-la à forma padrão, identificar seus elementos (centro, vértices, focos, eixos, assíntotas) e esboçar o gráfico. O conteúdo usado será completar quadrados e classificação de cônicas em geometria analítica.

Passo 2

Reagrupamos os termos em x e em y e isolamos a constante:
-3x^2-6x ;+;5y^2-10y ;-;13 = 0 Longrightarrow -3x^2-6x ;+;5y^2-10y = 13

Passo 3

Fazemos o completion of the square em cada grupo. Para x:
-3x^2-6x = -3l(x^2+2xr) = -3l[x^2+2x+1-1r] = -3(x+1)^2+3
Para y:
5y^2-10y = 5l(y^2-2yr) = 5l[y^2-2y+1-1r] = 5(y-1)^2-5
Substituindo de volta:
-3(x+1)^2+3 ;+;5(y-1)^2-5 =13 Longrightarrow -3(x+1)^2+5(y-1)^2=15

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 15, obtemos
-(x+1)^25 ;+;(y-1)^23 =1 Longrightarrow (y-1)^23 ;-;(x+1)^25 =1
Como há sinais opostos, é uma hipérbole com eixo transverso vertical. O centro é
(h,k)=(-1,,1),
com
a^2=3, b^2=5

Passo 5

– Vértices: ao longo do eixo vertical,
(-1,;1pm a)=l(-1,,1pmraiz3r)
– Focos:
c^2=a^2+b^2=3+5=8, c=2raiz2,
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(-1,;1pm 2raiz2)
– Assíntotas: para (y-1)^2a^2-(x+1)^2b^2=1 valem
y-1 = pmab,(x+1) = pmraiz3raiz5,(x+1)

Passo 6

O esboço deve mostrar:
– Centro em (-1,1).
– Dois ramos verticais abertos para cima e para baixo, passando pelos vértices (-1,,1pmraiz3).
– Focos em (-1,,1pm2raiz2).
– Retas assíntotas y-1=pm(raiz3/raiz5)(x+1).

Resposta

É uma hipérbole com forma padrão
(y-1)^23 ;-;(x+1)^25 =1

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