Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
9 x^2-18 y^2+24 y-26=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
9x^2-18y^2+24y-26=0
e pede (i) identificar a cônica, (ii) escrever na forma padrão, (iii) apontar elementos relevantes (centro, vértices, focos, eixos, assíntotas ou reta diretriz). Para isso vamos completar o quadrado no termo em y e depois dividir para obter a forma canônica.

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado em y:
9x^2-18y^2+24y-26=9x^2-18l(y^2-tfrac43yr)-26=0
Dentro do parêntese,
y^2-tfrac43y = l(y-tfrac23r)^2-tfrac49
Logo
-18l(y^2-tfrac43yr) =-18l[(y-tfrac23)^2-tfrac49r] =-18(y-tfrac23)^2+8
Substituindo de volta:
9x^2-18(y-tfrac23)^2+8-26=0 ;Longrightarrow; 9x^2-18(y-tfrac23)^2=18

Passo 3

Dividindo 18 em ambos os lados:
9x^218-18(y-tfrac23)^218=1 ;Longrightarrow; x^22-l(y-tfrac23r)^2=1
Como os coeficientes de x^2 e de (y-tfrac23)^2 têm sinais opostos, trata-se de uma hipérbole. No padrão
(x-0)^2a^2-(y-tfrac23)^2b^2=1
temos
a^2=2, b^2=1,
e centro em l(0,tfrac23r).

Passo 4

Centro l(0,tfrac23r). Como o termo positivo é tfracx^22, os ramos abrem para a direita e para a esquerda (eixo transverso horizontal).
  • Vértices:
V1=l(raiz2,tfrac23r), V2=l(-raiz2,tfrac23r)
  • Focos:
c^2=a^2+b^2=2+1=3;Longrightarrow;c=raiz3,
F1=l(raiz3,tfrac23r), F2=l(-raiz3,tfrac23r)
  • Assíntotas: a inclinação é pm b/a=pm1/raiz2, saindo do centro:
y-tfrac23=pm1raiz2,x

Passo 5

Esboço do gráfico: centro em l(0,tfrac23r); dois ramos simétricos abrindo para direita e esquerda; vértices em pmraiz2 sobre o eixo horizontal passando por y=tfrac23; focos mais afastados em pmraiz3; e assíntotas desenhadas pelas retas
y=tfrac23pmxraiz2

Resposta

A cônica é uma hipérbole cuja forma padrão é
x^22-l(y-tfrac23r)^2=1
Centro em l(0,tfrac23r); vértices em l(pmraiz2,tfrac23r); focos em l(pmraiz3,tfrac23r); assíntotas dadas por
y-tfrac23=pmxraiz2

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