Determine um conjunto abrangente para cada uma das curvas dadas a seguir:
(3.2)
.
(3.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar um conjunto abrangente para a curva $ C_{2}: \quad \theta=\frac{\pi}{2} $. Isso está relacionado ao estudo de coordenadas polares, onde
representa o ângulo em relação ao eixo positivo
. Para resolver isso, vamos precisar transformar essa equação polar em coordenadas cartesianas e entender o que ela representa no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. Nas coordenadas cartesianas, qualquer ponto é dado por
, enquanto nas polares é
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. As relações de conversão são:
Como nossa equação é
, isso significa que o ângulo está fixo em
, apontando diretamente para cima no eixo
.
Passo 3
Com
, substituímos esse valor nas equações de conversão:
Isso mostra que, para qualquer valor de
, o valor de
será sempre 0 e
será igual a
. Ou seja, todos os pontos dessa curva têm
e
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Então, o conjunto abrangente para a curva
é o conjunto de todos os pontos onde
. Em termos matemáticos, podemos escrever esse conjunto como:
Isso representa todos os pontos no eixo
, tanto acima quanto abaixo da origem.
Resposta
O conjunto abrangente para a curva
é:
Isso inclui todos os pontos no eixo
no plano cartesiano.