Determine um conjunto abrangente para cada uma das curvas dadas a seguir:
(3.2) C2: theta=pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar um conjunto abrangente para a curva $ C_{2}: \quad \theta=\frac{\pi}{2} $. Isso está relacionado ao estudo de coordenadas polares, onde C2: theta=pi2 representa o ângulo em relação ao eixo positivo theta. Para resolver isso, vamos precisar transformar essa equação polar em coordenadas cartesianas e entender o que ela representa no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. Nas coordenadas cartesianas, qualquer ponto é dado por (x, y), enquanto nas polares é (r, theta), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo x. As relações de conversão são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Como nossa equação é theta = pi2, isso significa que o ângulo está fixo em 90^circ, apontando diretamente para cima no eixo y.

Passo 3

Com theta = pi2, substituímos esse valor nas equações de conversão:
x = r cos(pi2) = r times 0 = 0
y = r sin(pi2) = r times 1 = r
Isso mostra que, para qualquer valor de r, o valor de x será sempre 0 e y será igual a r. Ou seja, todos os pontos dessa curva têm x = 0 e y pode ser qualquer número real.

Passo 4

Então, o conjunto abrangente para a curva C2 é o conjunto de todos os pontos onde x = 0. Em termos matemáticos, podemos escrever esse conjunto como:
(x, y) mid x = 0
Isso representa todos os pontos no eixo y, tanto acima quanto abaixo da origem.

Resposta

O conjunto abrangente para a curva C2: theta=pi2 é:
(x, y) mid x = 0
Isso inclui todos os pontos no eixo y no plano cartesiano.

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