Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.3) f(x, y)=tg[x ln (1+y)] ; P0(pi, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \tan\left[x \ln (1+y)\right] $ no ponto $ P_0(\pi, 0) $. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e entender como funcionam as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que escrevemos como $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y) = \tan\left[x \ln (1+y)\right] $. Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. A derivada da tangente de algo é $ \sec^2 $ desse algo, multiplicado pela derivada interna.
Então, temos:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Para isso, novamente usamos a regra da cadeia. A derivada da tangente é $ \sec^2 $ do que está dentro, vezes a derivada dessa parte interna em relação a $ y $.
A parte interna é $ x \ln(1+y) $. Derivando isso em relação a $ y $, temos:
f
Então, a derivada parcial fica:
y

Passo 4

Agora vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P_0(\pi, 0) $. Primeiro, substituímos $ x = \pi $ e $ y = 0 $ nas expressões que encontramos.
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
P0(pi, 0)
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $ e $ \sec^2(0) = 1 $, então:
x = pi
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
y = 0

Resposta

As derivadas parciais no ponto $ P_0(\pi, 0) $ são:
P0(pi, 0)
partial fpartial x(pi, 0) = 0

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