Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
x^2 y^prime prime-7 x y^prime+15 y=0, y1(x)=x^3, y2(x)=x^5, y(1)=0,4, y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO x^2y''-7x y'+15y=0, as soluções y1(x)=x^3 e y2(x)=x^5, e pede para mostrar que elas formam base do espaço de soluções e depois resolver o PVI com y(1)=0.4 e y'(1)=1. Vamos usar o Wronskiano para a independência e depois aplicar condições iniciais.

Passo 2

Para checar que y1 e y2 são independentes, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x)= x^3 & x^5 3x^2 & 5x^4 = x^3cdot5x^4 - x^5cdot3x^2 = 5x^7 - 3x^7 = 2x^7

Passo 3

Como para xneq0 temos W(y1,y2)(x)=2x^7neq0, as funções são linearmente independentes e formam uma base.

Passo 4

A solução geral da EDO homogênea de 2ª ordem é então
y(x)=C1x^3 + C2x^5

Passo 5

Derivando para aplicar as condições iniciais,
y'(x)=3C1x^2 + 5C2x^4

Passo 6

Impondo y(1)=0.4 e y'(1)=1 montamos o sistema
C1 + C2 = 0.4, 3C1 + 5C2 = 1

Passo 7

Da primeira equação vem C1=0.4 - C2. Substituindo na segunda:
3(0.4 - C2) + 5C2 = 1

Passo 8

o que dá 1.2 + 2C2 = 1, logo C2 = -0.1 e C1 = 0.4 - (-0.1) = 0.5.

Resposta

y(x)=0.5,x^3 - 0.1,x^5

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