Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a EDO , as soluções e , e pede para mostrar que elas formam base do espaço de soluções e depois resolver o PVI com e . Vamos usar o Wronskiano para a independência e depois aplicar condições iniciais.
Passo 2
Para checar que e são independentes, calculamos o Wronskiano:
Passo 3
Como para xneq0 temos W(y1,y2)(x)=2x^7neq0, as funções são linearmente independentes e formam uma base.
Passo 4
A solução geral da EDO homogênea de 2ª ordem é então
y(x)=C1x^3 + C2x^5
Passo 5
Derivando para aplicar as condições iniciais,
y'(x)=3C1x^2 + 5C2x^4
Passo 6
Impondo y(1)=0.4 e y'(1)=1 montamos o sistema
C1 + C2 = 0.4, 3C1 + 5C2 = 1
Passo 7
Da primeira equação vem C1=0.4 - C2. Substituindo na segunda:
3(0.4 - C2) + 5C2 = 1
Passo 8
o que dá 1.2 + 2C2 = 1, logo C2 = -0.1 e C1 = 0.4 - (-0.1) = 0.5.