Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
y^prime prime+25 y=0, y1(x)=cos 5 x, y2(x)=sen 5 x, y(0)=0,8, y^prime(0)=-6,5

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções dadas formam uma base da EDO y''+25y=0 e depois resolver o problema de valor inicial com y(0)=0,8 e y'(0)=-6,5. O conteúdo envolve EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, independência linear via Wronskiano, superposição de soluções e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que y1(x)=cos(5x) e y2(x)=sin(5x) são soluções da EDO. Calculando a segunda derivada:
y1''+25y1 = -25cos(5x)+25cos(5x)=0,
y2''+25y2 = -25sin(5x)+25sin(5x)=0

Passo 3

Em seguida, verificamos a independência linear pelo Wronskiano:
W(y1,y2)(x)=cos(5x)&sin(5x)-5sin(5x)&5cos(5x)=5cos^2(5x)+5sin^2(5x)=5neq0
Como o Wronskiano é não nulo, y1 e y2 são independentes e formam uma base de soluções.

Passo 4

Pela superposição, a solução geral da EDO é
y(x)=C1cos(5x)+C2sin(5x),
cuja derivada é
y'(x)=-5C1sin(5x)+5C2cos(5x)

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Para x=0:
y(0)=C1=0,8;
y'(0)=5C2=-6,5implies C2=-1,3

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.

Resposta

y(x)=0,8,cos(5x)-1,3,sin(5x)

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