Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções dadas formam uma base da EDO e depois resolver o problema de valor inicial com e . O conteúdo envolve EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, independência linear via Wronskiano, superposição de soluções e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, confirmamos que e são soluções da EDO. Calculando a segunda derivada:
Passo 3
Em seguida, verificamos a independência linear pelo Wronskiano:
Como o Wronskiano é não nulo, y1 e y2 são independentes e formam uma base de soluções.
Passo 4
Pela superposição, a solução geral da EDO é
y(x)=C1cos(5x)+C2sin(5x),
cuja derivada é y'(x)=-5C1sin(5x)+5C2cos(5x)
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Para x=0:
y(0)=C1=0,8;
y'(0)=5C2=-6,5implies C2=-1,3
Passo 6
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.