Determine se
A=(x, y, z) mid x+y-3 z=0 é um subespaço do espaço vetorial R^3.

Passo 1

O enunciado envolve o conjunto
A = (x,y,z)mid x + y - 3z = 0
no espaço vetorial R^3. Para mostrar que A é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. contém o vetor zero;
  2. fechado sob adição;
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0,0) pertence a A. Substituindo em x+y-3z=0 temos
0 + 0 - 3cdot0 = 0,
logo (0,0,0)in A.

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos
u=(x1,y1,z1)in A, v=(x2,y2,z2)in A,
isto é,
x1+y1-3z1=0 e x2+y2-3z2=0
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
(x1+x2)+(y1+y2)-3(z1+z2) =(x1+y1-3z1)+(x2+y2-3z2)=0+0=0
Logo u+vin A.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Sejam alphainR e
u=(x,y,z)in A, x+y-3z=0
Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
e
alpha x + alpha y - 3(alpha z) =alpha,(x+y-3z)=alphacdot0=0
Logo alpha uin A.

Resposta

Sim, A é um subespaço de R^3.

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