Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto A(3,4,6) e a retar: cx=t y=3-t z=3+2 t

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém o ponto A(3,4,6) e a reta
L: x=t, y=3-t, z=3+2t
Em geometria analítica do espaço, um plano pode ser determinado por um vetor normal n e um ponto qualquer. Para achar n, precisamos de dois vetores não colineares que morem no plano e depois fazer o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Da forma paramétrica de L vemos que seu vetor diretor é
v = (1,,-1,,2)
Esse vetor vive no plano.

Passo 3

Para obter um segundo vetor no plano, escolhemos um ponto P0 em L e ligamo-lo a A. Tomando t=0 em L temos
P0=(0,3,3)
Então
P0A = A - P0 = (3,4,6)-(0,3,3) = (3,1,3)

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial entre P0A=(3,1,3) e v=(1,-1,2) para obter o vetor normal n.
n ;=; i & j & k 3 & 1 & 3 1 & -1 & 2
n = l(1cdot2 - 3cdot(-1),;-(3cdot2 - 3cdot1),;3cdot(-1)-1cdot1r) = (5,,-3,,-4)

Passo 5

Com o vetor normal n=(5,-3,-4) e o ponto A(3,4,6), a equação do plano é
5(x-3)-3(y-4)-4(z-6)=0
Desenvolvendo:
5x-15-3y+12-4z+24=0 Longrightarrow 5x-3y-4z+21=0

Resposta

A equação geral do plano é
5x - 3y - 4z + 21 = 0

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