Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a retar:
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém o ponto A(3,4,6) e a reta
L: x=t, y=3-t, z=3+2t
Em geometria analítica do espaço, um plano pode ser determinado por um vetor normal n e um ponto qualquer. Para achar n, precisamos de dois vetores não colineares que morem no plano e depois fazer o produto vetorial entre eles.
Passo 2
Da forma paramétrica de L vemos que seu vetor diretor é
v = (1,,-1,,2)
Esse vetor vive no plano.
Passo 3
Para obter um segundo vetor no plano, escolhemos um ponto P0 em L e ligamo-lo a A. Tomando t=0 em L temos
P0=(0,3,3)
Então
P0A = A - P0 = (3,4,6)-(0,3,3) = (3,1,3)
Passo 4
Agora calculamos o produto vetorial entre P0A=(3,1,3) e v=(1,-1,2) para obter o vetor normal n.
n ;=; i & j & k 3 & 1 & 3 1 & -1 & 2
n = l(1cdot2 - 3cdot(-1),;-(3cdot2 - 3cdot1),;3cdot(-1)-1cdot1r) = (5,,-3,,-4)
Passo 5
Com o vetor normal n=(5,-3,-4) e o ponto A(3,4,6), a equação do plano é