Determine
e o conjunto no qual
é contínua.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a função $ h(x, y) = g(f(x, y)) $ e determinar onde essa função é contínua. Estamos lidando com funções compostas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor as funções $ g $ e $ f $ e depois analisar onde essa composição é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função $ f(x, y) $ na função $ g(t) $. A função $ g(t) $ é dada por:
E a função $ f(x, y) $ é:
Então, substituindo $ f(x, y) $ em $ g(t) $, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde essa função $ h(x, y) $ é contínua. Para que $ h(x, y) $ seja bem definida, todos os componentes precisam estar bem definidos. Primeiro, observe que o denominador $ 1 + x^{2} y^{2} $ nunca é zero porque $ x^{2} y^{2} $ é sempre não negativo, então $ 1 + x^{2} y^{2} \geq 1 > 0 $. Portanto, não temos problemas de divisão por zero.
Passo 4
O próximo ponto importante é a raiz quadrada $ \sqrt{\frac{1 - x y}{1 + x^{2} y^{2}}} $. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Como o denominador $ 1 + x^{2} y^{2} $ é sempre positivo, basta que o numerador seja maior ou igual a zero:
Passo 5
Portanto, $ h(x, y) $ é contínua em todos os pontos $ (x, y) $ do plano onde $ x y \leq 1 $. Isso porque em tais pontos, todas as operações na função $ h(x, y) $ estão bem definidas e não há interrupções na continuidade.
Resposta
A função composta é
e $ h $ é contínua para todos os pares $ (x, y) $ tais que $ x y \leq 1 $.