Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
y z+ln (z^2)=y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa usar derivação implícita para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. A equação que temos é:
z
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivação implícita e como aplicar ela para encontrar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivação implícita é uma técnica usada quando temos uma equação envolvendo duas ou mais variáveis e queremos encontrar a derivada de uma variável em relação a outra sem isolar uma delas. Nesse caso, nossa equação envolve $ y $ e $ z $, e queremos encontrar como $ z $ muda em relação a $ x $ e a $ y $.

Passo 3

Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Olhando a equação original:
partial zpartial x
Perceba que $ x $ não aparece na equação. Isso significa que $ z $ não depende de $ x $. Quando uma variável não aparece na equação, sua derivada em relação a essa variável é zero. Então:
y z + ln(z^2) = y

Passo 4

Agora vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a $ y $. Vamos lá:
Derivando o lado esquerdo:
partial zpartial y
Usando a regra do produto na primeira parte:
y
E para a segunda parte, usando a regra da cadeia:
partialpartial y(y z) + partialpartial y(ln(z^2))
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
z + y partial zpartial y
Derivando o lado direito:
1z^2 cdot 2z cdot partial zpartial y = 2z partial zpartial y

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
z + y partial zpartial y + 2z partial zpartial y = 1
Vamos fatorar $ \frac{\partial z}{\partial y} $ nos termos que têm ele:
partial zpartial y
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
z + ( y + 2z ) partial zpartial y = 1
partial zpartial y
Podemos simplificar a expressão multiplicando o numerador e o denominador por $ z $:
( y + 2z ) partial zpartial y = 1 - z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 0
partial zpartial y = z(1 - z)y z + 2

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