Use a derivação implícita para encontrar
e
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa usar derivação implícita para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivação implícita e como aplicar ela para encontrar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivação implícita é uma técnica usada quando temos uma equação envolvendo duas ou mais variáveis e queremos encontrar a derivada de uma variável em relação a outra sem isolar uma delas. Nesse caso, nossa equação envolve $ y $ e $ z $, e queremos encontrar como $ z $ muda em relação a $ x $ e a $ y $.
Passo 3
Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Olhando a equação original:
Perceba que $ x $ não aparece na equação. Isso significa que $ z $ não depende de $ x $. Quando uma variável não aparece na equação, sua derivada em relação a essa variável é zero. Então:
Passo 4
Agora vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a $ y $. Vamos lá:
Derivando o lado esquerdo:
Usando a regra do produto na primeira parte:
E para a segunda parte, usando a regra da cadeia:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos fatorar $ \frac{\partial z}{\partial y} $ nos termos que têm ele:
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Podemos simplificar a expressão multiplicando o numerador e o denominador por $ z $:
Resposta
As derivadas parciais são: