Determine h(x, y)=g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.
g(t)=e^-t cos (t), f(x, y)=x^4+x^2 y^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a função $ h(x, y) = g(f(x, y)) $ e descobrir onde essa função $ h $ é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e continuidade. As funções que vamos usar são $ g(t) = e^{-t} \cos(t) $ e $ f(x, y) = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão de $ h(x, y) $. Como $ h $ é composta de $ g $ e $ f $, basta substituir $ f(x, y) $ dentro de $ g $. Então:
h(x, y)

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x, y) $. Ela é dada por:
f(x, y)
Note que todos os termos são potências pares de $ x $ e $ y $, o que significa que $ f(x, y) $ é sempre maior ou igual a zero para quaisquer valores de $ x $ e $ y $.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar a continuidade das funções $ f $ e $ g $. A função $ f(x, y) $ é um polinômio em $ x $ e $ y $, e polinômios são contínuos em todo o plano real $ \mathbb{R}^2 $.

Passo 5

A função $ g(t) = e^{-t} \cos(t) $ também é contínua para todo $ t $ real, pois é composta de funções exponenciais e cosseno, que são contínuas em $ \mathbb{R} $.

Passo 6

Já que $ f(x, y) $ é contínua em $ \mathbb{R}^2 $ e $ g(t) $ é contínua em $ \mathbb{R} $, a função composta $ h(x, y) = g(f(x, y)) $ também será contínua em todo o domínio onde $ f(x, y) $ está definida.

Passo 7

Como $ f(x, y) $ está definida para todos os reais $ x $ e $ y $, concluímos que $ h(x, y) $ é contínua em todo o plano $ \mathbb{R}^2 $.

Resposta

A função $ h(x, y) = e^{- \left(x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}\right)} \cos\left(x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}\right) $ é contínua para todos os valores de $ x $ e $ y $ no plano real $ \mathbb{R}^2 $.

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