Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO dada:
  1. x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0, x>0, y1(x)=x^2;
  2. x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0, x>0, y1(x)=1x;
  3. x y^prime prime-y^prime+4 x^3 y=0, x>0, y1(x)=sin (x^2);
  4. (x-1) y^prime prime-x y^prime+y=0, x>1, y1(x)=e^x.

Passo 1

Temos quatro equações diferenciais de segunda ordem lineares homogêneas com uma solução conhecida y1(x) para cada caso, e vamos usar o método de redução de ordem. Precisamos colocar cada equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0, identificar p(x), calcular e^-integral p(x),dx e usar a fórmula abaixo para obter y2(x).
y2(x)=y1(x) integrale^-integral p(x),dx[y1(x)]^2,dx

Passo 2

Na equação 1: x^2y''-4xy'+6y=0 a forma padrão é y''-tfrac4xy'+tfrac6x^2y=0. Então p(x)=-tfrac4x, integral p(x),dx=-4ln x e e^-integral p=x^4. Aplicando a fórmula:
y2=x^2integralx^4(x^2)^2,dx=x^2integral1,dx=x^3

Passo 3

Na equação 2: x^2y''+3xy'+y=0 vira y''+tfrac3xy'+tfrac1x^2y=0. Logo p(x)=tfrac3x, integral p=3ln x, e^-integral p=x^-3. Assim:
y2=1xintegralx^-3(1/x)^2,dx=1xintegral x^-1,dx=ln xx

Passo 4

Na equação 3: xy''-y'+4x^3y=0 leva a y''-tfrac1xy'+4x^2y=0. Então p(x)=-tfrac1x, integral p=-ln x, e^-integral p=x. Logo:
y2=sin(x^2)integralxsin^2(x^2),dx=sin(x^2)l(-tfrac12cot(x^2)r)=-tfrac12cos(x^2),

Passo 5

descartando o fator constante, escolhemos y2=cos(x^2).

Passo 6

Na equação 4: (x-1)y''-xy'+y=0 y''-tfracxx-1y'+tfrac1x-1y=0. Aqui p(x)=-tfracxx-1, integral p=-x-ln(x-1), e^-integral p=(x-1)e^x. Aplicando a fórmula:
y2=e^xintegral(x-1)e^xe^2x,dx=e^xintegral(x-1)e^-xdx=e^xl(-x e^-xr)=-x

Passo 7

Portanto, a segunda solução independente é y2(x)=x.

Resposta

As segundas soluções encontradas são: 1) y2=x^3; 2) y2=ln xx; 3) y2=cos(x^2); 4) y2=x.

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