Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar onde a função de duas variáveis G(x,y)=e^{xy}·sen(x+y) é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar que funções polinomiais, exponencial e seno são contínuas, além de que soma, produto e composição preservam continuidade.
Passo 2
Funções polinomiais como f(x,y)=x·y e g(x,y)=x+y são contínuas em todo o ℝ², pois coordenadas, multiplicação e adição de variáveis são operações contínuas.
Passo 3
A função exponencial t↦e^{t} é contínua para todo t∈ℝ, logo o composto h(x,y)=e{f(x,y)}=e{xy} também é contínuo em qualquer ponto do domínio.
Passo 4
A função seno t↦sen(t) é contínua para todo t∈ℝ, então o composto j(x,y)=sen(g(x,y))=sen(x+y) é contínuo em todo ℝ².
Passo 5
Como produto de funções contínuas também é contínuo, a multiplicação h(x,y)·j(x,y)=e^{xy}·sen(x+y) herda continuidade em todo o ℝ².