a) Esboce o gráfico da curva de equações paramétricas
x=3 \cos t, \quad y=2 \operatorname{sen} t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
b) Encontre a equação cartesiana

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) esboçar o gráfico da curva dada por
x=3\cos t,\quad y=2\operatorname{sen} t,\quad 0\le t\le 2\pi,
e (b) encontrar a equação cartesiana dessa curva.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
x=3\cos t
y=2\operatorname{sen} t
\text{domínio: }0\le t\le 2\pií
Também vamos usar valores especiais do parâmetro t que são úteis para desenhar: t=0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2} (esses dão pontos no eixo x e y). Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e listei as informações fornecidas pelo enunciado.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t para obter a equação cartesiana. A ideia clássica é usar as identidades trigonométricas básicas. Primeiro escrevo as frações que isolam o \cos e o \sin:
\frac{x}{3}=\cos t,
\frac{y}{2}=\operatorname{sen} t.
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental (que você deve decorar — é muito usada):
\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1.
Substituo \cos t e \operatorname{sen} t pelas expressões em x e y. Ou seja, elevo cada igualdade ao quadrado e somo:
\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t.
Pela identidade trigonométrica o lado direito vale 1. Portanto obtemos a equação cartesiana:
\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1.

Passo 3

Interpretação da equação cartesiana encontrada. A equação
\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem. Vou explicar o que cada coisa significa, passo a passo:
  • A forma geral da elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados é \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, onde a e b são os semi-eixos (metade dos comprimentos dos eixos principais), medidos ao longo de x e y respectivamente.
  • No nosso caso temos a=3 e b=2. Isso significa que a elipse tem:
    • vértices ao longo do eixo x em (\pm 3,0),
    • vértices ao longo do eixo y em (0,\pm 2),
    • centro em (0,0).
  • O comprimento total do eixo maior é 2a=6 e do eixo menor é 2b=4.

Passo 4

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer na prova com régua e compasso ligeiro):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y.
  2. Marque os pontos (3,0), (-3,0), (0,2) e (0,-2). Esses quatro pontos são os vértices da elipse.
  3. Trace um retângulo com cantos em (\pm 3,\pm 2). A elipse vai tocar os lados médios desse retângulo (a elipse fica “encaixada” nesse retângulo).
  4. Desenhe a curva suave que passa pelos quatro vértices e está acolchoada contra os lados do retângulo — fica uma elipse alongada no eixo x.
  5. Para indicar a direção do percurso conforme o parâmetro t, calcule alguns pontos:
    • t=0\Rightarrow (x,y)=(3,0).
    • t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,2).
    • t=\pi\Rightarrow (x,y)=(-3,0).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,-2).
      Observando esses pontos vemos que, ao aumentar t a partir de 0, a curva vai de (3,0) para (0,2) — ou seja, o movimento é no sentido anti-horário. Então desenhe setas no esboço no sentido anti-horário.
  6. Nota sobre velocidade: a velocidade do ponto ao longo da elipse não é constante. Se você quiser, pode calcular as derivadas
\frac{dx}{dt}=-3\operatorname{sen}t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\cos t
e a rapidez é \sqrt{9\operatorname{sen}^{2}t+4\cos^{2}t}, que depende de t. Isso explica por que, mesmo com parâmetro uniforme, o ponto não se desloca com rapidez constante sobre a elipse.

Passo 5

Informações extras úteis para prova (decore/guarde mentalmente — são atalhos que salvam tempo):
  • Se a=b a elipse vira um círculo de raio a: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • Focos da nossa elipse (caso precise): c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}. Então os focos estão em (\pm\sqrt{5},0). A excentricidade é e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.
  • Um método rápido pra esboço: sempre trace primeiro o retângulo de cantos (\pm a,\pm b), marque os quatro vértices e então faça a curva suave tocando os lados do retângulo.

Resposta

(a) Elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical 2, vértices em (\pm 3,0) e (0,\pm 2), percorrida no sentido anti-horário.
(b) \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1

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