a) Esboce o gráfico da curva de equações paramétricas
b) Encontre a equação cartesiana
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) esboçar o gráfico da curva dada por
e (b) encontrar a equação cartesiana dessa curva.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Também vamos usar valores especiais do parâmetro
que são úteis para desenhar:
(esses dão pontos no eixo
e
). Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e listei as informações fornecidas pelo enunciado.
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
para obter a equação cartesiana. A ideia clássica é usar as identidades trigonométricas básicas. Primeiro escrevo as frações que isolam o
e o
:
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental (que você deve decorar — é muito usada):
Substituo
e
pelas expressões em
e
. Ou seja, elevo cada igualdade ao quadrado e somo:
Pela identidade trigonométrica o lado direito vale
. Portanto obtemos a equação cartesiana:
Passo 3
Interpretação da equação cartesiana encontrada. A equação
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem. Vou explicar o que cada coisa significa, passo a passo:
- A forma geral da elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados é
, onde e são os semi-eixos (metade dos comprimentos dos eixos principais), medidos ao longo de e respectivamente. - No nosso caso temos
e . Isso significa que a elipse tem: - vértices ao longo do eixo
em , - vértices ao longo do eixo
em , - centro em
.
- vértices ao longo do eixo
- O comprimento total do eixo maior é
e do eixo menor é .
Passo 4
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer na prova com régua e compasso ligeiro):
- Desenhe um sistema de eixos
e . - Marque os pontos
, , e . Esses quatro pontos são os vértices da elipse. - Trace um retângulo com cantos em
. A elipse vai tocar os lados médios desse retângulo (a elipse fica “encaixada” nesse retângulo). - Desenhe a curva suave que passa pelos quatro vértices e está acolchoada contra os lados do retângulo — fica uma elipse alongada no eixo
. - Para indicar a direção do percurso conforme o parâmetro
, calcule alguns pontos: -
. -
. -
. -
.
Observando esses pontos vemos que, ao aumentara partir de , a curva vai de para — ou seja, o movimento é no sentido anti-horário. Então desenhe setas no esboço no sentido anti-horário.
-
- Nota sobre velocidade: a velocidade do ponto ao longo da elipse não é constante. Se você quiser, pode calcular as derivadas
e a rapidez é
, que depende de
. Isso explica por que, mesmo com parâmetro uniforme, o ponto não se desloca com rapidez constante sobre a elipse.
Passo 5
Informações extras úteis para prova (decore/guarde mentalmente — são atalhos que salvam tempo):
- Se
a elipse vira um círculo de raio : . - Focos da nossa elipse (caso precise):
. Então os focos estão em . A excentricidade é . - Um método rápido pra esboço: sempre trace primeiro o retângulo de cantos
, marque os quatro vértices e então faça a curva suave tocando os lados do retângulo.
Resposta
(a) Elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
, vértices em
e
, percorrida no sentido anti-horário.
(b)