Questão 5 (1 pontos - Bônus). Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal a curva
no ponto cujo abscissa é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto cuja abscissa é
. Informação dada importante: a função
é exatamente a fração acima. Para escrever as retas precisamos de dois dados principais: o ponto de tangência (ou seja
) e a derivada no ponto (ou seja
). A partir de
e
construiremos a reta tangente e, com a inclinação negativa recíproca de
, construiremos a reta normal.
Passo 2
Calcular
(avaliar a função em
). Primeiro avaliamos numerador e denominador separadamente:
Logo o numerador em
é
O denominador em
é
Portanto
Isso nos diz que o ponto da curva em
é
.
Passo 3
Planejamento da derivada: como
é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. Se definirmos
e
então a regra do quociente diz
Antes de substituir essa fórmula precisamos calcular
e
. Vou explicar e aplicar as regras das derivadas necessárias (derivada do logaritmo, derivada da função seno composta e derivada de potência).
Passo 4
Derivada de
. Primeiro separemos os termos de
:
- A derivada de
é . Isso vem da regra básica: a taxa de variação do log natural é inversamente proporcional a . - Para derivar
usamos a regra da cadeia: se temos , sua derivada é . Aqui , logo . Portanto
Somando os termos:
Passo 5
Derivada de
. A função
é um polinômio. A derivada de
é
, assim
Explicação rápida: constante multiplicativa sai da derivada e usamos a regra potência.
Passo 6
Agora montamos
pela regra do quociente:
Queremos
. Substituímos
avaliando cada parte, usando os valores já conhecidos:
,
,
, e
.
Calcule :
Calcule
Calcule
(já achado) e
,
.
Substituindo na fórmula do numerador de :
Substituindo na fórmula do numerador de
O denominador é
Portanto
Passo 7
Equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: a reta tangente em
passando por
com inclinação
é
Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Equação da reta normal. A reta normal tem inclinação igual ao negativo do recíproco da inclinação da tangente (desde que
). Assim a inclinação da normal é
Usando a forma ponto-inclinação passando por
:
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: