Questão 5 (1 pontos - Bônus). Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal a curva
y=\frac{\ln (x)+7 \operatorname{sen}(1-x)}{9 x^{3}+3}
no ponto cujo abscissa é x=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
y=\frac{\ln(x)+7\operatorname{sen}(1-x)}{9x^{3}+3}
no ponto cuja abscissa é x=1. Informação dada importante: a função y=f(x) é exatamente a fração acima. Para escrever as retas precisamos de dois dados principais: o ponto de tangência (ou seja f(1)) e a derivada no ponto (ou seja f'(1)). A partir de f(1) e f'(1) construiremos a reta tangente e, com a inclinação negativa recíproca de f'(1), construiremos a reta normal.

Passo 2

Calcular f(1) (avaliar a função em x=1). Primeiro avaliamos numerador e denominador separadamente:
\ln(1)=0
\operatorname{sen}(1-1)=\operatorname{sen}(0)=0
Logo o numerador em x=1 é
\ln(1)+7\operatorname{sen}(1-1)=0+7\cdot 0=0.
O denominador em x=1 é
9\cdot 1^{3}+3=9+3=12.
Portanto
f(1)=\frac{0}{12}=0.
Isso nos diz que o ponto da curva em x=1 é (1,0).

Passo 3

Planejamento da derivada: como f(x) é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. Se definirmos
g(x)=\ln(x)+7\operatorname{sen}(1-x)
e
h(x)=9x^{3}+3,
então a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Antes de substituir essa fórmula precisamos calcular g'(x) e h'(x). Vou explicar e aplicar as regras das derivadas necessárias (derivada do logaritmo, derivada da função seno composta e derivada de potência).

Passo 4

Derivada de g(x). Primeiro separemos os termos de g:
g(x)=\ln(x)+7\operatorname{sen}(1-x).
  • A derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}. Isso vem da regra básica: a taxa de variação do log natural é inversamente proporcional a x.
  • Para derivar 7\operatorname{sen}(1-x) usamos a regra da cadeia: se temos \operatorname{sen}(u(x)), sua derivada é \cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=1-x, logo u'(x)=-1. Portanto
\frac{d}{dx}\big(7\operatorname{sen}(1-x)\big)=7\cdot \cos(1-x)\cdot(-1)=-7\cos(1-x).
Somando os termos:
g'(x)=\frac{1}{x}-7\cos(1-x).

Passo 5

Derivada de h(x). A função h(x)=9x^{3}+3 é um polinômio. A derivada de x^{3} é 3x^{2}, assim
h'(x)=9\cdot 3x^{2}=27x^{2}.
Explicação rápida: constante multiplicativa sai da derivada e usamos a regra potência.

Passo 6

Agora montamos f'(x) pela regra do quociente:
f'(x)=\frac{\big(\frac{1}{x}-7\cos(1-x)\big)\big(9x^{3}+3\big)-\big(\ln(x)+7\operatorname{sen}(1-x)\big)\big(27x^{2}\big)}{\big(9x^{3}+3\big)^{2}}.
Queremos f'(1). Substituímos x=1 avaliando cada parte, usando os valores já conhecidos: \ln(1)=0, \operatorname{sen}(0)=0, \cos(0)=1, e 9\cdot1^{3}+3=12.
Calcule g'(1):
g'(1)=\frac{1}{1}-7\cos(0)=1-7\cdot 1=1-7=-6.
Calcule g(1)=0 (já achado) e h(1)=12, h'(1)=27\cdot1^{2}=27.
Substituindo na fórmula do numerador de f'(1):
\text{numerador}=g'(1)h(1)-g(1)h'(1)=(-6)\cdot 12 - 0\cdot 27 = -72.
O denominador é
[h(1)]^{2}=12^{2}=144.
Portanto
f'(1)=\frac{-72}{144}=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: a reta tangente em x=1 passando por (1,f(1)) com inclinação f'(1) é
y=f'(1)(x-1)+f(1).
Substituindo f'(1)=-\tfrac{1}{2} e f(1)=0 obtemos
y=-\frac{1}{2}(x-1)+0=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

Passo 8

Equação da reta normal. A reta normal tem inclinação igual ao negativo do recíproco da inclinação da tangente (desde que f'(1)\neq 0). Assim a inclinação da normal é
m_{\text{normal}}=-\frac{1}{f'(1)}=-\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}=2.
Usando a forma ponto-inclinação passando por (1,0):
y=2(x-1)+0=2x-2.

Resposta

Reta tangente: y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
Reta normal: y=2x-2

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