Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
[x \ y]
de
R^{2} com x \geq y
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
V = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\ge y\}
com as operações usuais de adição de vetores em \mathbb{R}^2 e de multiplicação por escalar. Queremos verificar se V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, i.e., se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, existência de identidade, inversos, etc.).

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas relacionados à adição:
  1. Fechamento: se (x_1,y_1) e (x_2,y_2) estão em V, então x_1\ge y_1 e x_2\ge y_2. Somando vem
x_1+x_2 \;\ge\; y_1+y_2,
logo (x_1+x_2,\;y_1+y_2)\in V.
2. Comutatividade e associatividade: herdam-se de \mathbb{R}^2.
3. Elemento neutro: (0,0) satisfaz 0\ge0, logo está em V.
Até aqui, (V,+) é um grupo abeliano, com exceção de checar inversos.

Passo 3

A existência de inverso aditivo exige que, para todo (x,y)\in V, exista (u,v)\in V tal que
(x,y)+(u,v)=(0,0).
O único candidato é (u,v)=(-x,-y). Para que (-x,-y)\in V precisamos de
-x \;\ge\; -y \quad\Longleftrightarrow\quad x \;\le\; y.
Mas no enunciado temos x\ge y. A condição x\ge y e x\le y só coincide quando x=y. Logo, se x>y, o inverso (-x,-y)\notin V.
Portanto o axioma da existência de inverso aditivo NÃO é satisfeito.

Passo 4

Agora a multiplicação por escalar: precisamos que, para todo c\in\mathbb{R} e (x,y)\in V, o vetor c\,(x,y)=(cx,\,cy) pertença a V. Examinemos:
  • Se c\ge0, multiplica-se x\ge y por c sem mudar o sinal, e vem cx\ge cy. OK.
  • Se c<0, ao multiplicar x\ge y por c inverte-se a desigualdade, ficando cx\le cy. Para pertencer a V precisaríamos de cx\ge cy, e isso só ocorre se x=y.
    Logo, para vetores com x>y e escalar c<0, temos c(x,y)\notin V.
    Dessa forma, falha o axioma de fechamento da multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto V não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
– existência de inverso aditivo para todo vetor de V;
– fechamento de V sob multiplicação por escalar (para c<0).

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