Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
[x \ y]
de
R^{2} com x \geq y
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações usuais de adição de vetores em
e de multiplicação por escalar. Queremos verificar se
é um espaço vetorial sobre
, i.e., se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, existência de identidade, inversos, etc.).
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas relacionados à adição:
- Fechamento: se
e estão em , então e . Somando vem
logo
.
2. Comutatividade e associatividade: herdam-se de .
3. Elemento neutro: satisfaz
, logo está em
.
2. Comutatividade e associatividade: herdam-se de
3. Elemento neutro:
Até aqui,
é um grupo abeliano, com exceção de checar inversos.
Passo 3
A existência de inverso aditivo exige que, para todo
, exista
tal que
O único candidato é
. Para que
precisamos de
Mas no enunciado temos
. A condição
e
só coincide quando
. Logo, se
, o inverso
.
Portanto o axioma da existência de inverso aditivo NÃO é satisfeito.
Portanto o axioma da existência de inverso aditivo NÃO é satisfeito.
Passo 4
Agora a multiplicação por escalar: precisamos que, para todo
e
, o vetor
pertença a
. Examinemos:
- Se
, multiplica-se por sem mudar o sinal, e vem . OK. - Se
, ao multiplicar por inverte-se a desigualdade, ficando . Para pertencer a precisaríamos de , e isso só ocorre se .
Logo, para vetores come escalar , temos .
Dessa forma, falha o axioma de fechamento da multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
– existência de inverso aditivo para todo vetor de ;
– fechamento de sob multiplicação por escalar (para
).
– existência de inverso aditivo para todo vetor de
– fechamento de