Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Existem números reais x , y e z tais que a matriz \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\ x & y & z\end{array}\right) seja uma matriz ortogonal?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar reais x,y,z tais que
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2}\\\ x & y & z \end{pmatrix}
seja ortogonal. Uma matriz 3\times3 é ortogonal se e somente se
A^{-1}=A^t
ou, equivalentemente,
A^tA=I_3.
Isso significa que as linhas (ou colunas) de A formam um conjunto de vetores ortonormais em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Identificamos as linhas de A: \ell_1=(1,0,0), \ell_2=\bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) e \ell_3=(x,y,z). A ortogonalidade exige
\ell_i\cdot\ell_j=0\quad(i\neq j), \qquad \|\ell_i\|=1\quad(\forall i).

Passo 3

Impondo \ell_1\cdot\ell_3=0:
(1,0,0)\cdot(x,y,z)=x=0
Logo x=0.

Passo 4

Impondo \ell_2\cdot\ell_3=0:
\bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr)\cdot(0,y,z) =\tfrac1{\sqrt2}\,y+\tfrac1{\sqrt2}\,z=0
ou seja
y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=-y.

Passo 5

Impondo \|\ell_3\|=1:
\|(0,y,z)\|^2=y^2+z^2=1.
Substituindo z=-y
y^2+(-y)^2=2y^2=1 \quad\Longrightarrow\quad y^2=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\tfrac1{\sqrt2},
e então z=-y.

Resposta

Sim. Por exemplo,
x=0,\quad y=\tfrac1{\sqrt2},\quad z=-\tfrac1{\sqrt2}
ou, de forma equivalente,
x=0,\quad y=-\tfrac1{\sqrt2},\quad z=\tfrac1{\sqrt2}.

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