Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Existem números reais x , y e z tais que a matriz \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\ x & y & z\end{array}\right) seja uma matriz ortogonal?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar reais x,y,z tais que
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2}\\\ x & y & z \end{pmatrix}
seja ortogonal. Uma matriz 3\times3 é ortogonal se e somente se
A^{-1}=A^t
ou, equivalentemente,
A^tA=I_3.
Isso significa que as linhas (ou colunas) de A formam um conjunto de vetores ortonormais em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Identificamos as linhas de A: \ell_1=(1,0,0), \ell_2=\bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) e \ell_3=(x,y,z). A ortogonalidade exige