Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
[x \ y]
de
R^{2} com x \geq 0, y \geq 0
(isto é, o primeiro quadrante), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge0,\;y\ge0\}
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em \mathbb{R}^2. Precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: primeiro os axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo) e depois os axiomas relacionados à multiplicação escalar (fechamento, distributividades, associatividade escalar e elemento neutro escalar).

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em V:
  1. Fechamento: se (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V, então
    (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)
    tem coordenadas não-negativas, logo está em V.
  2. Comutatividade e associatividade: herdam-se da adição usual em \mathbb{R}^2.
  3. Existência do neutro aditivo: (0,0)\in V e (x,y)+(0,0)=(x,y).
  4. Existência do inverso aditivo: para (x,y)\in V, o inverso seria (-x,-y), mas se (x,y)\neq(0,0) então -x<0 ou -y<0, logo (-x,-y)\notin V.
Conclusão parcial: todos os axiomas de adição valem, exceto o da existência de inverso aditivo.

Passo 3

Verificação dos axiomas de multiplicação escalar em V:
  1. Fechamento sob multiplicação escalar: deve valer para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo v=(x,y)\in V que \alpha v\in V. Mas, se tomarmos \alpha=-1 e v=(1,1), então
-1\cdot(1,1)=(-1,-1)\notin V,
pois as coordenadas são negativas.
2. Distributividade e associatividade escalar: mesmo que as fórmulas matematicamente existam, o axioma exige que todos os produtos \alpha v, \beta v, \alpha(u+v) etc. permaneçam em V. Como a multiplicação escalar não é fechada em V, essas propriedades não se aplicam para todos os \alpha,\beta.
3. Elemento neutro escalar: 1\cdot(x,y)=(x,y), mas de novo o axioma só vale se a multiplicação escalar for válida para todo escalar.
Conclusão parcial: falha o fechamento sob multiplicação escalar e, em consequência, todos os axiomas que envolvem produto escalar em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Lista de axiomas não satisfeitos em V:
  • Existência de inverso aditivo: não existe -v\in V para v\neq(0,0).
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: para escalares negativos (por exemplo \alpha=-1), \alpha v\notin V.
  • Consequentemente, falham também os axiomas de
    • distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v
• distributividade do escalar sobre a soma de escalares:
(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v
• compatibilidade (associatividade) de escalares:
(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v).

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial.
Os axiomas que não se satisfazem são:
  1. Existência de inverso aditivo.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar.
  3. Distributividades e compatibilidade de multiplicação escalar (por dependerem de fechamento).

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