Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
[x \ y]
de
R^{2} com x \geq 0, y \geq 0
(isto é, o primeiro quadrante), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores
(isto é, o primeiro quadrante), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em . Precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: primeiro os axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo) e depois os axiomas relacionados à multiplicação escalar (fechamento, distributividades, associatividade escalar e elemento neutro escalar).
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em
Passo 2
Verificação dos axiomas de adição em
:
- Fechamento: se
, então
tem coordenadas não-negativas, logo está em. - Comutatividade e associatividade: herdam-se da adição usual em
. - Existência do neutro aditivo:
e . - Existência do inverso aditivo: para
, o inverso seria , mas se então ou , logo .
Conclusão parcial: todos os axiomas de adição valem, exceto o da existência de inverso aditivo.
Passo 3
Verificação dos axiomas de multiplicação escalar em
:
- Fechamento sob multiplicação escalar: deve valer para todo
e todo que . Mas, se tomarmos e , então
pois as coordenadas são negativas.
2. Distributividade e associatividade escalar: mesmo que as fórmulas matematicamente existam, o axioma exige que todos os produtos ,
,
etc. permaneçam em
. Como a multiplicação escalar não é fechada em
, essas propriedades não se aplicam para todos os
.
3. Elemento neutro escalar: , mas de novo o axioma só vale se a multiplicação escalar for válida para todo escalar.
2. Distributividade e associatividade escalar: mesmo que as fórmulas matematicamente existam, o axioma exige que todos os produtos
3. Elemento neutro escalar:
Conclusão parcial: falha o fechamento sob multiplicação escalar e, em consequência, todos os axiomas que envolvem produto escalar em todo
.
Passo 4
Lista de axiomas não satisfeitos em
:
- Existência de inverso aditivo: não existe
para . - Fechamento sob multiplicação por escalar: para escalares negativos (por exemplo
), . - Consequentemente, falham também os axiomas de
• distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
• distributividade do escalar sobre a soma de escalares:
• compatibilidade (associatividade) de escalares:
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial.
Os axiomas que não se satisfazem são:
Os axiomas que não se satisfazem são:
- Existência de inverso aditivo.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
- Distributividades e compatibilidade de multiplicação escalar (por dependerem de fechamento).