Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
R^{2}
, com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
c
[x\y]
=
[c x\y]
R^{2}
, com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com a adição usual
e a multiplicação por escalar definida por
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial: (i) que
é grupo abeliano e (ii) que a multiplicação por escalar satisfaz as 4 propriedades restantes.
Passo 2
Verificamos os axiomas de grupo abeliano para
:
- Comutatividade e associatividade da adição vêm da definição usual em
. - Existência do elemento neutro
. - Existência de inverso aditivo
.
Portanto,é de fato um grupo abeliano.
Passo 3
Agora checamos as propriedades da multiplicação por escalar:
- Distributividade em relação à adição de vetores:
e
logo são iguais.
- Distributividade em relação à adição de escalares:
mas
Como
é igual, porém a segunda componente difere (
em geral), essa propriedade não é satisfeita.
- Associatividade de escalares:
que coincidem.
- Identidade escalar:
Passo 4
Concluímos que apenas a distributividade em relação à soma de escalares
falha. Em particular, dessa falha decorre que
violando a propriedade desejável de
.
Resposta
Não é espaço vetorial. O axioma que falha é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: