Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
R^{2}
, com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
c
[x\y]
=
[c x\y]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathbb{R}^2, com a adição usual
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e a multiplicação por escalar definida por
c\cdot(x,y)=(c\,x,\;y),
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial: (i) que (\mathbb{R}^2,+) é grupo abeliano e (ii) que a multiplicação por escalar satisfaz as 4 propriedades restantes.

Passo 2

Verificamos os axiomas de grupo abeliano para (\mathbb{R}^2,+):
  • Comutatividade e associatividade da adição vêm da definição usual em \mathbb{R}^2.
  • Existência do elemento neutro (0,0).
  • Existência de inverso aditivo (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
    Portanto, (\mathbb{R}^2,+) é de fato um grupo abeliano.

Passo 3

Agora checamos as propriedades da multiplicação por escalar:
  1. Distributividade em relação à adição de vetores:
c\cdot\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =c\cdot(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =(c(x_1+x_2),\,y_1+y_2)
e
c\cdot(x_1,y_1)+c\cdot(x_2,y_2) =(c x_1,y_1)+(c x_2,y_2) =\bigl(c x_1+c x_2,\;y_1+y_2\bigr),
logo são iguais.
  1. Distributividade em relação à adição de escalares:
(c+d)\cdot(x,y) =\bigl((c+d)x,\;y\bigr)
mas
c\cdot(x,y)+d\cdot(x,y) =(c x,y)+(d x,y) =\bigl(c x+d x,\;y+y\bigr) =\bigl((c+d)x,\;2y\bigr).
Como \,(c+d)x é igual, porém a segunda componente difere ( y\neq2y em geral), essa propriedade não é satisfeita.
  1. Associatividade de escalares:
c\cdot\bigl(d\cdot(x,y)\bigr) =c\cdot(d x,y)=(c\,d\,x,y) \quad\text{e}\quad (c\,d)\cdot(x,y)=(c\,d\,x,y),
que coincidem.
  1. Identidade escalar:
1\cdot(x,y)=(1\cdot x,y)=(x,y).

Passo 4

Concluímos que apenas a distributividade em relação à soma de escalares
(c+d)\cdot v = c\cdot v + d\cdot v
falha. Em particular, dessa falha decorre que
0\cdot(x,y)=(0\cdot x,y)=(0,y)\neq(0,0) \quad\text{para }y\neq0,
violando a propriedade desejável de 0\cdot v=0.

Resposta

Não é espaço vetorial. O axioma que falha é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(c+d)\cdot v \neq c\cdot v + d\cdot v\quad(\text{em geral}).

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