Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
mathbb{R}^{2}, com a operação usual de multiplicação por escalar, mas com a adição de matrizes definida por
\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ y_{1} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} x_{2} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+1 \\\ y_{1}+y_{2}+1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define o conjunto \mathbb{R}^2 com a multiplicação por escalar usual
\alpha\cdot\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha x\\alpha y\end{pmatrix}
mas com a adição
\begin{pmatrix}x_1\y_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_2\y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1+x_2+1\y_1+y_2+1\end{pmatrix}.
Pergunta-se se isso forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para decidir, vamos checar sistematicamente os axiomas.

Passo 2

Primeiro, os axiomas de adição em \mathbb{R}^2 são:
  1. Fechamento: u+v\in\mathbb{R}^2.
  2. Comutatividade: u+v=v+u.
  3. Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w).
  4. Existência de vetor neutro 0: u+0=u.
  5. Existência de inverso aditivo -u: u+(-u)=0.

Passo 3

Verificamos esses cinco itens:
  1. Fechamento: a soma \bigl(x_1+x_2+1,y_1+y_2+1\bigr) está em \mathbb{R}^2. OK.
  2. Comutatividade: x_1+x_2+1=x_2+x_1+1, idem para y. OK.
  3. Associatividade:
    (u+v)+w=\bigl(x_1+x_2+1+x_3+1,\;y_1+y_2+1+y_3+1\bigr) \,= (x_1+x_2+x_3+2,\;y_1+y_2+y_3+2),
    u+(v+w) dá o mesmo, pois soma de reais é associativa. OK.
  4. Neutro aditivo 0: buscamos \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} tal que
    \bigl(x+a+1,y+b+1\bigr)=(x,y) para todo (x,y).
    Isso exige a=-1 e b=-1. Logo 0=(-1,-1). OK.
  5. Inverso: dado u=(x,y), queremos w=(u)' com
    \bigl(x+w_x+1,y+w_y+1\bigr)=(-1,-1).
    Resolvendo w_x=-x-2 e w_y=-y-2. Assim sempre existe inverso. OK.
Portanto, todos os axiomas de adição são satisfeitos.

Passo 4

Agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar \alpha,\beta\in\mathbb{R} e u,v\in\mathbb{R}^2:
  1. Fechamento: \alpha u\in\mathbb{R}^2.
  2. \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u.
  3. 1\cdot u = u.
  4. Distributividade em relação à soma de vetores:
    \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
  5. Distributividade em relação à soma de escalares:
    (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
Os itens 6, 7 e 8 são triviais porque o produto escalar é o usual em \mathbb{R}^2. Vamos ao 9 e 10.

Passo 5

Verificação do axioma 9:
Lado esquerdo,
\alpha(u+v) =\alpha\begin{pmatrix}x_1+x_2+1\y_1+y_2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha(x_1+x_2+1)\\alpha(y_1+y_2+1)\end{pmatrix}.
Lado direito,
\alpha u+\alpha v =\begin{pmatrix}\alpha x_1\\alpha y_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\alpha x_2\\alpha y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha x_1+\alpha x_2+1\\alpha y_1+\alpha y_2+1\end{pmatrix}.
Comparando a primeira coordenada, LHS tem \alpha(x_1+x_2)+\alpha, RHS tem \alpha(x_1+x_2)+1.
Isso só coincide para todo x_1,x_2,\alpha se \alpha=1. Logo o axioma 9 falha.

Passo 6

Verificação do axioma 10:
Lado esquerdo,
(\alpha+\beta)u =\begin{pmatrix}(\alpha+\beta)x\\(\alpha+\beta)y\end{pmatrix}.
Lado direito,
\alpha u+\beta u =\begin{pmatrix}\alpha x\\alpha y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\beta x\\beta y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha x+\beta x+1\\alpha y+\beta y+1\end{pmatrix}.
Aqui LHS não tem o “ +1”, enquanto RHS sempre adiciona 1. Portanto o axioma 10 também falha.)

Resposta

Não é um espaço vetorial.
Os axiomas não satisfeitos são:
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.

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