Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
, com a operação usual de multiplicação por escalar, mas com a adição de matrizes definida por
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a multiplicação por escalar usual
mas com a adição
Pergunta-se se isso forma um espaço vetorial sobre
. Para decidir, vamos checar sistematicamente os axiomas.
Passo 2
Primeiro, os axiomas de adição em
são:
- Fechamento:
. - Comutatividade:
. - Associatividade:
. - Existência de vetor neutro
: . - Existência de inverso aditivo
: .
Passo 3
Verificamos esses cinco itens:
- Fechamento: a soma
está em . OK. - Comutatividade:
, idem para . OK. - Associatividade:
,
dá o mesmo, pois soma de reais é associativa. OK. - Neutro aditivo
: buscamos tal que
para todo .
Isso exigee . Logo . OK. - Inverso: dado
, queremos com
.
Resolvendoe . Assim sempre existe inverso. OK.
Portanto, todos os axiomas de adição são satisfeitos.
Passo 4
Agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar
e
:
- Fechamento:
. -
. -
. - Distributividade em relação à soma de vetores:
. - Distributividade em relação à soma de escalares:
.
Os itens 6, 7 e 8 são triviais porque o produto escalar é o usual em
. Vamos ao 9 e 10.
Passo 5
Verificação do axioma 9:
Lado esquerdo,
Lado esquerdo,
Lado direito,
Comparando a primeira coordenada, LHS tem
, RHS tem
.
Isso só coincide para todo se
. Logo o axioma 9 falha.
Isso só coincide para todo
Passo 6
Verificação do axioma 10:
Lado esquerdo,
Lado esquerdo,
Lado direito,
Aqui LHS não tem o “
”, enquanto RHS sempre adiciona
. Portanto o axioma 10 também falha.)
Resposta
Não é um espaço vetorial.
Os axiomas não satisfeitos são:
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores .
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares .
Os axiomas não satisfeitos são:
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores
– Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares