Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todas as matrizes 2 \times 2, triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
U = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]0 & c\end{pmatrix} \mid a,b,c\in\mathbb{K}\Bigr\}
com a adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{K}. Para isso, mostraremos que U é um subespaço do espaço vetorial de todas as matrizes 2\times2, pois então herda todos os axiomas de espaço vetorial.]

Passo 2

(Fechamento em relação à adição)
Tomemos
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[3pt]0 & c_1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[3pt]0 & c_2\end{pmatrix}
ambas em U. A soma é
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[3pt]0+0 & c_1+c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[3pt]0 & c_1+c_2\end{pmatrix}.
Como a_1+a_2, b_1+b_2 e c_1+c_2 estão em \mathbb{K}, concluímos que X+Y\in U.]

Passo 3

(Fechamento em relação à multiplicação por escalar)
Seja \lambda\in\mathbb{K} e
X=\begin{pmatrix}a & b\\[3pt]0 & c\end{pmatrix}\in U.
Então
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[3pt]0 & \lambda c\end{pmatrix},
e como \lambda a,\lambda b,\lambda c\in\mathbb{K}, segue que \lambda X\in U.]

Passo 4

(Existência do elemento nulo e do inverso aditivo)
O elemento zero do espaço de todas as matrizes 2\times2 é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix},
que está claramente em U. Para cada
\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\[3pt]0 & c\end{pmatrix},
o inverso aditivo é
-\,X = \begin{pmatrix}-a & -b\\[3pt]0 & -c\end{pmatrix}\in U.]

Passo 5

(Demais axiomas)
Como U herda as mesmas operações de adição e multiplicação por escalar de todo o espaço das matrizes 2\times2, os axiomas de associatividade, comutatividade da adição, distributividade, existência de escalar neutro e unitário também são satisfeitos em U.

Resposta

O conjunto das matrizes 2\times2 triangulares superiores com as operações usuais é um espaço vetorial sobre \mathbb{K}.

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