Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todas as matrizes
, triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com a adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, mostraremos que
é um subespaço do espaço vetorial de todas as matrizes
, pois então herda todos os axiomas de espaço vetorial.]
Passo 2
(Fechamento em relação à adição)
Tomemos
Tomemos
ambas em
. A soma é
Como
,
e
estão em
, concluímos que
.]
Passo 3
(Fechamento em relação à multiplicação por escalar)
Seja e
Seja
Então
e como
, segue que
.]
Passo 4
(Existência do elemento nulo e do inverso aditivo)
O elemento zero do espaço de todas as matrizes é
O elemento zero do espaço de todas as matrizes
que está claramente em
. Para cada
o inverso aditivo é
Passo 5
(Demais axiomas)
Como herda as mesmas operações de adição e multiplicação por escalar de todo o espaço das matrizes
, os axiomas de associatividade, comutatividade da adição, distributividade, existência de escalar neutro e unitário também são satisfeitos em
.
Como
Resposta
O conjunto das matrizes
triangulares superiores com as operações usuais é um espaço vetorial sobre
.