Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição \oplus definida por x \oplus y=x y, e a multiplicação por escalar \odot definida por c \odot x=x^{c}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}
com a “adição”
x\oplus y = x\,y
e a “multiplicação por escalar”
c\odot x = x^{c},
querendo saber se (V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, vamos conferir todos os axiomas de espaço vetorial:
  1. (V,\oplus) é grupo abeliano?
  2. As propriedades de distributividade, associatividade de escalar e elemento neutro escalar valem?

Passo 2

Verificação de que (V,\oplus) é grupo abeliano:
  • Fechamento: se x>0 e y>0 então x\oplus y = x\,y>0, logo está em V.
  • Associatividade: (x\oplus y)\oplus z = (x\,y)\,z = x\,(y\,z) = x\oplus(y\oplus z).
  • Comutatividade: x\oplus y = x\,y = y\,x = y\oplus x.
  • Elemento neutro: existe e\in V tal que x\oplus e = x. Como x\,e = x então e=1.
  • Inverso aditivo: dado x\in V, existe y\in V tal que x\oplus y = 1. Basta y = x^{-1}>0.
Portanto (V,\oplus) é um grupo abeliano com neutro 1.

Passo 3

Verificação dos axiomas que envolvem escalares c,d\in\mathbb{R} e vetores x,y\in V:
  1. Fechamento em \odot: c\odot x = x^{c}>0, logo está em V.
  2. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
c\odot(x\oplus y) = (x\,y)^{c} = x^{c}\,y^{c} = (c\odot x)\oplus(c\odot y).
  1. Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
(c + d)\odot x = x^{\,c+d} = x^{c}\,x^{d} = (c\odot x)\oplus(d\odot x).
  1. Associatividade de escalares:
(c\,d)\odot x = x^{\,cd} \quad\text{e}\quad c\odot(d\odot x)=c\odot\bigl(x^{d}\bigr)=\bigl(x^{d}\bigr)^{c}=x^{\,dc},
e como dc=cd, as duas expressões coincidem.
5. Elemento escalar neutro:
1\odot x = x^{1} = x.

Passo 4

Já conferimos todos os axiomas de grupo abeliano em \oplus e os quatro axiomas que envolvem \odot. Todos são satisfeitos. Além disso, podemos ver a isomorfia canônica com \mathbb{R} através de \ln:
\ln(x\oplus y)=\ln(x\,y)=\ln x+\ln y, \quad \ln(c\odot x)=\ln(x^{c})=c\ln x,
confirmando que (V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Nenhum axioma falha.

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