Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição
definida por
, e a multiplicação por escalar
definida por
.
O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
querendo saber se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos conferir todos os axiomas de espaço vetorial:
-
é grupo abeliano? - As propriedades de distributividade, associatividade de escalar e elemento neutro escalar valem?
Passo 2
Verificação de que
é grupo abeliano:
- Fechamento: se
e então , logo está em . - Associatividade:
. - Comutatividade:
. - Elemento neutro: existe
tal que . Como então . - Inverso aditivo: dado
, existe tal que . Basta .
Portanto
é um grupo abeliano com neutro
.
Passo 3
Verificação dos axiomas que envolvem escalares
e vetores
:
- Fechamento em
: , logo está em . - Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
- Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
- Associatividade de escalares:
e como
, as duas expressões coincidem.
5. Elemento escalar neutro:
5. Elemento escalar neutro:
Passo 4
Já conferimos todos os axiomas de grupo abeliano em
e os quatro axiomas que envolvem
. Todos são satisfeitos. Além disso, podemos ver a isomorfia canônica com
através de
:
confirmando que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
. Nenhum axioma falha.