Seja \mathbf{u}_{1}=(1,1,1)^{T}, \mathbf{u}_{2}=(1,2,2)^{T}, \mathbf{u}_{3}=(2,3,4)^{T}.
(a) Encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} para \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}.
(b) Encontre as coordenadas dos seguintes vetores em relação a \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}.
(i) (3,2,5)^{T}
(ii) (1,1,2)^{T}
(iii) (2,3,2)^{T}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{u}_{1}=(1,1,1)^{T}, \mathbf{u}_{2}=(1,2,2)^{T} e \mathbf{u}_{3}=(2,3,4)^{T}
e pede:
(a) a matriz de transição da base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} para a base \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\};
(b) as coordenadas dos vetores (3,2,5)^T, (1,1,2)^T e (2,3,2)^T nessa nova base.
O conteúdo é Álgebra Linear: mudança de base e inversão de matrizes para resolver sistemas lineares.

Passo 2

A matriz de transição P cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Por definição, para um vetor \mathbf{c} de coordenadas na base \{\mathbf{u}_i\}, vale \mathbf{v}=P\,\mathbf{c} em coordenadas canônicas.

Passo 3

Para achar as coordenadas de um \mathbf{v} na base \{\mathbf{u}_i\} precisamos de P^{-1}.
  1. Calculamos \det P:
\det P =1\cdot\begin{vmatrix}2&3\\\ 2&4\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\\ 1&4\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}1&2\\\ 1&2\end{vmatrix} =1\cdot(8-6)-1\cdot(4-3)+2\cdot0=1.
  1. Como \det P=1, basta montar a matriz dos cofatores, transpor e dividir por 1. O adjugado é
\mathrm{adj}(P) =\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ -1&2 & -1\\\\ 0 & -1&1 \end{pmatrix}
e portanto
P^{-1} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ -1&2 & -1\\\\ 0 & -1&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Seja \mathbf{v} um vetor em coordenadas canônicas. Suas coordenadas \mathbf{c} na base \{\mathbf{u}_i\} satisfazem
\mathbf{c} = P^{-1}\,\mathbf{v}.

Passo 5

(i) Para \mathbf{v}=(3,2,5)^T:
\mathbf{c} =P^{-1}\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2&0&-1\\\\ -1&2&-1\\\\ 0&-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot3+0\cdot2-1\cdot5\\\\ -1\cdot3+2\cdot2-1\cdot5\\\\ 0\cdot3-1\cdot2+1\cdot5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 6

(ii) Para \mathbf{v}=(1,1,2)^T:
\mathbf{c} =P^{-1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot1+0\cdot1-1\cdot2\\\\ -1\cdot1+2\cdot1-1\cdot2\\\\ 0\cdot1-1\cdot1+1\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

(iii) Para \mathbf{v}=(2,3,2)^T:
\mathbf{c} =P^{-1}\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot2+0\cdot3-1\cdot2\\\\ -1\cdot2+2\cdot3-1\cdot2\\\\ 0\cdot2-1\cdot3+1\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) A matriz de transição é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
(b) As coordenadas na base \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} são
(i) \,(1,\,-4,\,3)^T.
(ii) \,(0,\,-1,\,1)^T.
(iii) \,(2,\,2,\,-1)^T.

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