Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
(5-2 x)(-7 x-2) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto
S=xinRmid(5-2x)(-7x-2)<=0.
O conteúdo aqui é resolução de inequações de primeiro grau por análise de sinais: vamos achar as raízes de cada fator, dividir a reta em intervalos e ver onde o produto é não-positivo (negativo ou zero).

Passo 2

Determinamos as raízes dos fatores separadamente:
Para 5-2x=0 temos
x=52
Para -7x-2=0 temos
x=-27

Passo 3

Essas raízes partem a reta em três intervalos:
(-infty,,-tfrac27),l(-tfrac27,,tfrac52r),(tfrac52,infty)
Escolhendo um ponto de teste em cada intervalo, vemos:
  • Em x<-tfrac27 (por ex. x=-1):
    5-2x>0 e -7x-2>0 Rightarrow produto >0.
  • Em -tfrac27<x<tfrac52 (por ex. x=0):
    5-2x>0 e -7x-2<0 Rightarrow produto <0.
  • Em x>tfrac52 (por ex. x=3):
    5-2x<0 e -7x-2<0 Rightarrow produto >0.
Além disso, nos pontos x=-tfrac27 e x=tfrac52 o produto é zero.

Passo 4

Queremos (5-2x)(-7x-2)<=0, isto é, produto negativo ou zero. A partir da análise acima, isso ocorre em
-tfrac27<= x<=tfrac52

Resposta

O conjunto solução é
S = l[-tfrac27,,tfrac52r]

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