Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
(5-3 x)(7-2 x)(1-4 x) <= 0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto SsubsetR de todas as soluções de
(5-3x)(7-2x)(1-4x)<= 0
O conteúdo aqui é a resolução de uma desigualdade polinomial por análise de sinais dos fatores lineares.

Passo 2

Encontrar as raízes de cada fator:
5-3x=0implies x=53, 7-2x=0implies x=72, 1-4x=0implies x=14

Passo 3

Ordenando as raízes em ordem crescente,
14<53<72,
analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
1. Para x<tfrac14:
5-3x>0, 7-2x>0, 1-4x>0
Produto >0, não satisfaz.
2. Para tfrac14<x<tfrac53:
5-3x>0, 7-2x>0, 1-4x<0
Produto <0, satisfaz.
3. Para tfrac53<x<tfrac72:
5-3x<0, 7-2x>0, 1-4x<0
Produto >0, não satisfaz.
4. Para x>tfrac72:
5-3x<0, 7-2x<0, 1-4x<0
Produto <0, satisfaz.
Nos pontos x=tfrac14,tfrac53,tfrac72 o produto zera, e portanto também satisfaz <=0.

Passo 4

Reunindo as regiões onde (5-3x)(7-2x)(1-4x)<=0, obtemos
S=[14,53]cup[72,infty)

Resposta

S=[14,53]cup[72,infty)

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