Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
(3 x+2)(-3 x+4)(x-6)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(3x+2)(-3x+4)(x-6)<0
para xinR. O método é estudar o sinal de cada fator, determinando seus zeros e montando o quadro de sinais.

Passo 2

Encontramos os zeros de cada fator:
– Para 3x+2=0 temos
x=-tfrac23
– Para -3x+4=0 temos
x=tfrac43
– Para x-6=0 temos
x=6

Passo 3

Ordenando esses valores na reta real, obtemos os pontos críticos
-tfrac23, tfrac43, 6
Em cada intervalo entre eles, analisamos o sinal de cada fator:
3x+2 é negativo para x<-tfrac23 e positivo para x>-tfrac23.
-3x+4 é positivo para x<tfrac43 e negativo para x>tfrac43.
x-6 é negativo para x<6 e positivo para x>6.

Passo 4

Montando o sinal do produto em cada intervalo:
– Em (-infty,-tfrac23): (-) cdot (+)cdot(-)=+.
– Em (-tfrac23,tfrac43): (+)cdot(+)cdot(-)=-.
– Em (tfrac43,6): (+)cdot(-)cdot(-)=+.
– Em (6,infty): (+)cdot(-)cdot(+)=-.
Como queremos o produto menor que zero, selecionamos os intervalos onde o sinal é negativo.

Resposta

S=l(-tfrac23,,tfrac43r),cup,(6,infty)

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