Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
1x-1<2x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação fracionária
1x-1 < 2x-2
para xinR. O conteúdo envolvido é manipular frações algébricas, cuidar do domínio (denominadores não nulos) e estudar sinal de expressão racional.

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio de definição, ou seja, evitamos zeros nos denominadores:
x-1 neq 0 implies xneq 1, x-2 neq 0 implies xneq 2
Logo a inequação só faz sentido para xinRsetminus1,2.

Passo 3

Passamos tudo para um único lado subtraindo tfrac2x-2:
1x-1 - 2x-2 < 0

Passo 4

Colocamos na mesma fração:
1x-1 - 2x-2 = (x-2) - 2(x-1)(x-1)(x-2) = x-2 -2x +2(x-1)(x-2) = -x(x-1)(x-2)
Então queremos
-x(x-1)(x-2) < 0

Passo 5

Multiplicando por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade) obtemos a condição equivalente
x(x-1)(x-2) > 0

Passo 6

Para estudar o sinal de
f(x) = x(x-1)(x-2)
analisamos zeros e polos:
  • Zero em x=0.
  • Polos (denominador zero) em x=1 e x=2.
    Fazendo quadro de sinais nos intervalos (-infty,0), (0,1), (1,2) e (2,infty) ou testando pontos, encontramos que f(x)>0 em
(0,1)e(2,infty)
Em x=0 fica f(0)=0, que não satisfaz a desigualdade estrita, e x=1,2 estão fora do domínio.

Resposta

O conjunto solução é
S = (0,1),cup,(2,infty)

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