Calcule
integral duplaS 4 z(8-x^2-y^2)^2 d S
onde S é a porção de esfera x^2+y^2+z^2=4 acima do plano z=1.
Escolha uma opção:
  • pi2
  • pi3
  • 23 pi
  • 35 pi
  • 34 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a superfície S da função 4z(8 - x^2 - y^2)^2 dS , onde S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está acima do plano z = 1 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região S . A esfera dada tem raio 2, já que x^2 + y^2 + z^2 = 4 é uma esfera de raio raiz4 = 2 . A parte acima do plano z = 1 significa que estamos olhando para a parte da esfera onde z >= 1 .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nessa mudança, temos:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de área dS na esfera é dado por:
dS = rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Como estamos na esfera rho = 2 , simplificamos dS = 4 sinphi , dphi , dtheta .

Passo 4

Vamos substituir x e y na função a ser integrada:
8 - x^2 - y^2 = 8 - (4 sin^2phi cos^2theta + 4 sin^2phi sin^2theta) = 8 - 4 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = 8 - 4 sin^2phi
A função fica então:
4z(8 - x^2 - y^2)^2 = 4 cdot 2 cosphi(8 - 4 sin^2phi)^2 = 8 cosphi(8 - 4 sin^2phi)^2
Simplificando o denominador:
8 - 4 sin^2phi = 4(2 - sin^2phi)
Então:
8 cosphi16(2 - sin^2phi)^2 = cosphi2(2 - sin^2phi)^2

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como z >= 1 e z = 2 cosphi , temos:
2 cosphi >= 1 implies cosphi >= 12 implies phi <= pi3
Portanto, phi varia de 0 a pi3 , e theta varia de 0 a 2pi .

Passo 6

Vamos montar a integral:
integral duplaS 4z(8 - x^2 - y^2)^2 dS = integral0^2pi integral0^pi/3 cosphi2(2 - sin^2phi)^2 cdot 4 sinphi , dphi , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi dtheta integral0^pi/3 2 cosphi sinphi(2 - sin^2phi)^2 , dphi

Passo 7

Vamos resolver a integral em phi . Fazendo a substituição u = sinphi , temos du = cosphi , dphi . Os limites ficam de u = 0 para u = sin(pi/3) = raiz32 :
integral0^pi/3 2 cosphi sinphi(2 - sin^2phi)^2 , dphi = 2 integral0^raiz3/2 u(2 - u^2)^2 , du

Passo 8

Vamos resolver a integral:
2 integral u(2 - u^2)^2 , du
Fazendo a substituição v = 2 - u^2 , então dv = -2u , du , ou -12 dv = u , du :
2 cdot ( -12 ) integral 1v^2 , dv = - integral v^-2 , dv = 1v + C = 12 - u^2 + C
Retornando a u = sinphi :
12 - sin^2phi
Avaliando de 0 a raiz32 :
12 - sin^2phi |0^pi/3 = 12 - (raiz32)^2 - 12 - 0 = 12 - 34 - 12 = 154 - 12 = 45 - 12 = 810 - 510 = 310

Passo 9

Agora, voltando à integral original:
integral0^2pi dtheta cdot 310 = 310 cdot 2pi = 6pi10 = 3pi5

Resposta

A resposta correta é 35 pi .

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