Calcule
onde é a porção de esfera acima do plano .
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a superfície da função , onde é a parte da esfera que está acima do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região . A esfera dada tem raio 2, já que é uma esfera de raio . A parte acima do plano significa que estamos olhando para a parte da esfera onde .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nessa mudança, temos:
E o elemento de área na esfera é dado por:
Como estamos na esfera , simplificamos .
Passo 4
Vamos substituir e na função a ser integrada:
A função fica então:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como e , temos:
Portanto, varia de a , e varia de a .
Passo 6
Vamos montar a integral:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral em . Fazendo a substituição , temos . Os limites ficam de para :