Determine o conjunto
das desigualdades abaixo, onde
e o conjunto solução, para
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto solução
da desigualdade
O conteúdo aqui é resolução de desigualdade racional. Vamos precisar levar tudo para um lado, obter uma única fração e estudar o sinal dessa fração.
Passo 2
Subtraímos
de ambos os lados para obter uma única fração:
Colocando no mesmo denominador:
Passo 3
Calculamos o numerador:
Logo a desigualdade fica
Os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam) são
Em
e
a expressão é indeterminada, e em
o numerador é zero.
Passo 4
Estudamos o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
Montando a tabela de sinais (sinal da fração):
- Em
: numerador , denominador fração . - Em
: numerador , denominador fração . - Em
: numerador , denominador fração . - Em
: numerador , denominador fração .
Queremos onde a fração é negativa.
Passo 5
Pelos sinais acima, a desigualdade
vale exatamente em
Lembrando que excluímos os pontos
e
(denominador zero) e também
(igualdade a zero, mas queremos estritamente menor que zero).