Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
1x-4<2x+3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução SsubsetR da desigualdade
1x-4 < 2x+3
O conteúdo aqui é resolução de desigualdade racional. Vamos precisar levar tudo para um lado, obter uma única fração e estudar o sinal dessa fração.

Passo 2

Subtraímos tfrac2x+3 de ambos os lados para obter uma única fração:
1x-4 - 2x+3 < 0
Colocando no mesmo denominador:
(x+3) - 2(x-4)(x-4)(x+3) < 0

Passo 3

Calculamos o numerador:
(x+3) - 2(x-4) = x + 3 - 2x + 8 = -x + 11
Logo a desigualdade fica
-x + 11(x-4)(x+3) < 0
Os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam) são
x = 11, x = 4, x = -3
Em x=4 e x=-3 a expressão é indeterminada, e em x=11 o numerador é zero.

Passo 4

Estudamos o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
1. Fator -x+11 é positivo se x<11, zero em x=11, negativo se x>11.
2. Fator (x-4)(x+3) é positivo em x>4 ou x<-3, e negativo em -3<x<4.
Montando a tabela de sinais (sinal da fração):
  • Em (-infty,-3): numerador >0, denominador >0 Rightarrow fração >0.
  • Em (-3,4): numerador >0, denominador <0 Rightarrow fração <0.
  • Em (4,11): numerador >0, denominador >0 Rightarrow fração >0.
  • Em (11,infty): numerador <0, denominador >0 Rightarrow fração <0.
Queremos onde a fração é negativa.

Passo 5

Pelos sinais acima, a desigualdade -x+11(x-4)(x+3)<0 vale exatamente em
(-3,4)cup(11,infty)
Lembrando que excluímos os pontos x=-3 e x=4 (denominador zero) e também x=11 (igualdade a zero, mas queremos estritamente menor que zero).

Resposta

S = (-3,4)cup(11,infty).

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