Determine o conjunto em que a função é contínua:
lx^2+4 y^2, se x^2+4 y^2 <= 5 3, se x^2+4 y^2>5

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente descobrir em que pontos a função
f(x,y)= x^2+4y^2, &se x^2+4y^2<=5, 3, &se x^2+4y^2>5
é contínua. Isso é continuidade de função de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai usar que polinômios e funções constantes são contínuos, e que possíveis “problemas” só aparecem onde a regra muda, ou seja, na fronteira x^2+4y^2=5.

Passo 2

Primeiro, lembra que toda função dada por um polinômio (tipo x^2+4y^2) é contínua em todo lugar, e que qualquer função constante (tipo f(x,y)=3) também é contínua em todo lugar.
Isso já nos garante continuidade em:
  1. (x,y)colon x^2+4y^2<5, onde f(x,y)=x^2+4y^2.
  2. (x,y)colon x^2+4y^2>5, onde f(x,y)=3.

Passo 3

O único lugar que resta checar é a fronteira do “elipse” x^2+4y^2=5, porque ali a definição de f muda de ramo. Para um ponto qualquer (x0,y0) com x0^2+4y0^2=5, a gente precisa ver se
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)
existe e é igual a f(x0,y0).

Passo 4

– Se eu me aproximo de (x0,y0) por dentro da região x^2+4y^2<5, então f(x,y)=x^2+4y^2to x0^2+4y0^2=5.
– Se eu me aproximo por fora, onde x^2+4y^2>5, f(x,y)=3to3.
Como 5neq3, não há um único valor de limite quando (x,y)to(x0,y0). Logo, f é descontínua em qualquer ponto de x^2+4y^2=5.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de R^2 que não pertencem à elipse x^2+4y^2=5. Em fórmulas:
(x,y)inR^2 : x^2+4y^2<5;cup;(x,y)inR^2 : x^2+4y^2>5 ;=; R^2setminus(x,y):x^2+4y^2=5

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