Determine o conjunto em que a função é contínua:
’
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente descobrir em que pontos a função
é contínua. Isso é continuidade de função de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai usar que polinômios e funções constantes são contínuos, e que possíveis “problemas” só aparecem onde a regra muda, ou seja, na fronteira
.
Passo 2
Primeiro, lembra que toda função dada por um polinômio (tipo
) é contínua em todo lugar, e que qualquer função constante (tipo
) também é contínua em todo lugar.
Isso já nos garante continuidade em:
Isso já nos garante continuidade em:
-
, onde . -
, onde .
Passo 3
O único lugar que resta checar é a fronteira do “elipse”
, porque ali a definição de
muda de ramo. Para um ponto qualquer
com
, a gente precisa ver se
existe e é igual a
.
Passo 4
– Se eu me aproximo de
por dentro da região
, então
.
– Se eu me aproximo por fora, onde ,
.
Como , não há um único valor de limite quando
. Logo,
é descontínua em qualquer ponto de
.
– Se eu me aproximo por fora, onde
Como
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos de
que não pertencem à elipse
. Em fórmulas: