Passe para coordenadas polares e calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral-1^1integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2lnl(x^2+y^2+1r),dx,dy convertendo para coordenadas polares. É um problema de integração em regiões planas, usando mudança de variável para polar e o elemento de área r,dr,dtheta.

Passo 2

A região de integração é o disco de raio 1 centrado na origem, ou seja x^2+y^2<=1. Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano é r. A integral vira
integral0^2piintegral0^1lnl(r^2+1r);r,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em theta, já que o integrando não depende de theta. Isso dá um fator 2pi:
2piintegral0^1rlnl(r^2+1r),dr

Passo 4

Para avaliar integral0^1rln(1+r^2),dr usamos a substituição u=1+r^2, de modo que du=2r,dr e r,dr=du/2. Os limites mudam de r=0to u=1 e r=1to u=2. Assim:
integral0^1rln(1+r^2),dr = 12integral1^2ln(u),du

Passo 5

Sabendo que integralln(u),du = uln(u)-u, obtemos
12l[ uln(u)-ur]1^2 = 12l(2ln2-2 - (1cdot0-1)r) = ln2 - tfrac12

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2pi vindo da integração em theta, a integral original vale
2pil(ln2 - tfrac12r) = 2piln2 - pi

Resposta

2piln2 - pi

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