Passe para coordenadas polares e calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
convertendo para coordenadas polares. É um problema de integração em regiões planas, usando mudança de variável para polar e o elemento de área
.
Passo 2
A região de integração é o disco de raio 1 centrado na origem, ou seja
. Em coordenadas polares fazemos
,
e o jacobiano é
. A integral vira
Passo 3
Integramos primeiro em
, já que o integrando não depende de
. Isso dá um fator
:
Passo 4
Para avaliar
usamos a substituição
, de modo que
e
. Os limites mudam de
e
. Assim:
Passo 5
Sabendo que
, obtemos
Passo 6
Multiplicando pelo fator
vindo da integração em
, a integral original vale