Determine o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=lx yx^2+x y+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x yx^2+x y+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de pontos onde f é contínua. Vamos usar que razões de funções polinomiais são contínuas quando o denominador não se anula, e depois examinar o ponto (0,0) separadamente.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), note que o denominador
x^2+x y+y^2
é uma forma quadrática positiva definida (já que seu discriminante é De<a =1^2-4cdot1cdot1=-3<0), logo x^2+x y+y^2>0 sempre que (x,y)neq(0,0). Assim a função
(x,y)mapsto x yx^2+x y+y^2
é uma razão de polinômios com denominador não nulo, portanto contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), calculamos o limite de f(x,y) ao aproximar por diferentes curvas:
  1. Pela reta y=0:
limxto0xcdot0x^2 + xcdot0 + 0^2 =0
  1. Pela reta y=x:
limxto0xcdot xx^2 + xcdot x + x^2 =limxto0x^23x^2 =13
Como esses limites são diferentes, o limite não existe em (0,0), e portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de R^2 exceto em (0,0), ou seja, no conjunto
R^2setminus(0,0)

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