Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
f(z)=arcsinh z

Passo 1

O enunciado pede a expressão explícita de f(z)=arcsinhz, ou seja, a função inversa de sinh w. Vamos usar a definição
z = sinh w = e^w - e^-w2
e resolver essa equação para w.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados de
z = e^w - e^-w2
por 2e^w, obtemos
2ze^w = e^2w - 1
Reorganizando os termos:
e^2w - 2ze^w - 1 = 0

Passo 3

Reconhecemos uma equação quadrática em t = e^w:
t^2 - 2zt - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
t = 2z pm raiz4z^2 + 42 = z pm raizz^2 + 1

Passo 4

Como t = e^w deve ser diferente de zero e para definir o ramo principal escolhemos o sinal “ +”. Assim,
e^w = z + raizz^2 + 1
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
w = lnl(z + raizz^2 + 1r)
Logo,
arcsinhz = lnl(z + raizz^2 + 1r)

Resposta

arcsinhz = lnl(z + raizz^2 + 1r)

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