Questão 21

Considere os vetores a1=(1,2,1), a2=(3,0,1) e a3=(2,-2,1).
(1) Mostre que esses vetores formam uma base do R^3.
(2) Se substituimos a3 por a4=(2,-2,0) temos uma nova base do R^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
a1=(1,2,1), a2=(3,0,1), a3=(2,-2,1),
e pede dois itens: (1) mostrar que a1,a2,a3 é base de R^3 e (2) verificar se, ao trocar a3 por a4=(2,-2,0), ainda temos uma base. Para isso precisamos checar independência linear (ou determinante não nulo) de cada tripla de vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas colunas são a1,a2,a3 e calcular seu determinante:
det 1 & 3 & 2 2 & 0 & -2 1 & 1 & 1 =1cdot(0cdot1-(-2)cdot1)-3cdot(2cdot1-(-2)cdot1)+2cdot(2cdot1-0cdot1)
Agora desenvolvendo:
=1cdot(0+2)-3cdot(2+2)+2cdot(2-0) =2-3cdot4+4=2-12+4=-6
Como det=-6neq0, os vetores são linearmente independentes e geram R^3. Logo a1,a2,a3 é uma base de R^3.

Passo 3

Agora substituímos a3 por a4=(2,-2,0) e calculamos o determinante da matriz com colunas a1,a2,a4:
det 1 & 3 & 2 2 & 0 & -2 1 & 1 & 0 =1cdot(0cdot0-(-2)cdot1)-3cdot(2cdot0-(-2)cdot1)+2cdot(2cdot1-0cdot1)
Fazendo as contas:
=1cdot(0+2)-3cdot(0+2)+2cdot2 =2-3cdot2+4=2-6+4=0
Como esse determinante é zero, os vetores ficam linearmente dependentes e não geram todo R^3. Portanto a1,a2,a4 não é base.

Resposta

(1) Sim, a1,a2,a3 forma uma base de R^3 pois o determinante é -6neq0.
(2) Não, ao trocar por a4 o determinante fica 0, logo não há base.

Exercícios relacionados