Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
f(z)=arccosh z

Passo 1

O enunciado pede uma expressão explícita para
f(z)=arccoshz,
isto é, queremos a forma em que
omega=arccoshz
satisfaça cosh(omega)=z. Vamos usar a definição
cosh(omega)=e^omega+e^-omega2
e resolver para omega.

Passo 2

Partindo de
cosh(omega)=z
substituímos a definição em termos de exponenciais:
e^omega+e^-omega2=z
Multiplicando por 2e^omega obtemos uma equação quadrática em e^omega:
e^2omega-2z,e^omega+1=0

Passo 3

Tratamos essa equação como X^2 -2zX +1=0 com X=e^omega. As raízes são
X = z pm raizz^2-1

Passo 4

Logo
e^omega = z pm raizz^2-1
Tomando o logaritmo,
omega = lnl(z pm raizz^2-1r)
Para definir a inversa principal escolhemos o sinal “ +”, de modo que a parte real de omega seja não-negativa quando z>=1.

Passo 5

Concluímos que a forma padrão para a inversa hiperbólica cosseno é
arccoshz = ln!l(z + raizz^2-1r)

Resposta

boxedarccoshz = lnl(z + raizz^2-1r)

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