Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede uma expressão explícita para
,
isto é, queremos a forma em que
satisfaça . Vamos usar a definição
e resolver para .
isto é, queremos a forma em que
satisfaça
e resolver para
Passo 2
Partindo de
substituímos a definição em termos de exponenciais:
Multiplicando por
obtemos uma equação quadrática em
:
Passo 3
Tratamos essa equação como
com
. As raízes são
Passo 4
Logo
Tomando o logaritmo,
Para definir a inversa principal escolhemos o sinal “
”, de modo que a parte real de
seja não-negativa quando
.
Passo 5
Concluímos que a forma padrão para a inversa hiperbólica cosseno é