Determine o conjunto no qual a função é contínua.
F(x, y)=\operatorname{arcsec}(x \cdot y)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos (x,y) nos quais a função F(x,y)=\operatorname{arcsec}(x\cdot y) é contínua.
Informações dadas explicitamente:
  • A função é F(x,y)=\operatorname{arcsec}(x y).
  • Não foi dada uma definição adicional de \operatorname{arcsec}, logo deve-se usar a definição padrão (inversa da função secante em seu ramo principal).

Passo 2

Entender onde \operatorname{arcsec} está definida (domínio) e se é contínua ali.
  • A função secante é \operatorname{sec}(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}. Como \cos(\theta) toma valores em [-1,1], a secante tem imagem fora do intervalo (-1,1): isto é, \operatorname{sec}(\theta)\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
  • A função \operatorname{arcsec} é, por definição, a inversa restrita da secante sobre um ramo adequado; portanto o domínio de \operatorname{arcsec} (como função real) é
(-\infty,-1]\cup[1,\infty),
ou de forma compacta
\{u\in\mathbb{R}:\;|u|\ge 1\}.
Logo, para que F(x,y) esteja definida, é necessário que x y pertença a esse conjunto.

Passo 3

Mostrar que \operatorname{arcsec} é contínua em todo o seu domínio. Uma maneira prática e clara:
  • Para u com |u|\ge 1 vale a fórmula
\operatorname{arcsec}(u)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{u}\right).
(Verificação intuitiva: \operatorname{sec}\theta=u equivale a \cos\theta=1/u, portanto \theta=\operatorname{arccos}(1/u) no ramo adequado.)
  • A função u\mapsto 1/u é contínua para u\neq 0; em particular é contínua em todo u com |u|\ge 1.
  • A função \operatorname{arccos} é contínua em [-1,1]. Como 1/u\in[-1,1] quando |u|\ge1, a composição \operatorname{arccos}(1/u) é contínua em todo |u|\ge1.
    Portanto \operatorname{arcsec} é contínua em todo o seu domínio \{u:|u|\ge1\}.

Passo 4

Aplicar continuidade por composição à função F.
  • Defina g(x,y)=x y. A função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em todo \mathbb{R}^2 (produto de funções contínuas).
  • Já vimos que \operatorname{arcsec} é contínua em cada ponto do conjunto \{u:|u|\ge1\}.
  • Para a composição F=\operatorname{arcsec}\circ g ser bem definida num ponto (x_0,y_0) é necessário g(x_0,y_0)=x_0 y_0 satisfazer |x_0 y_0|\ge1. Sempre que isso ocorrer, como g é contínua e \operatorname{arcsec} é contínua no valor g(x_0,y_0), a composição F será contínua em (x_0,y_0).
    Portanto todo ponto (x_0,y_0) tal que |x_0 y_0|\ge1 é ponto de continuidade de F.

Passo 5

Verificação dos pontos na fronteira |x y|=1. (Tranquilo — são incluídos.)
  • Se x_0 y_0=1, então quaisquer sequências (x_n,y_n) em que x_n y_n\in\operatorname{dom}(\operatorname{arcsec}) e (x_n,y_n)\to(x_0,y_0) têm x_n y_n\to 1 e, como \operatorname{arcsec} é contínua à direita de 1 no seu domínio, tem-se \operatorname{arcsec}(x_n y_n)\to\operatorname{arcsec}(1). Assim F é contínua em (x_0,y_0). Argumento análogo vale para x_0 y_0=-1.
  • Não há aproximação dentro do domínio que force abordagem por valores fora de \{u:|u|\ge1\} porque g é contínua e os valores do produto próximos a \pm1 obrigatoriamente vêm de pontos com produto próximo de \pm1 dentro do domínio. Logo não há descontinuidade “surpresa” nesses pontos da fronteira.
Assim os pontos com |x y|=1 também são pontos de continuidade de F.

Passo 6

Conclusão final: o conjunto de continuidade de F é exatamente o conjunto de definição que encontramos, ou seja, todos os pares (x,y) tais que o produto x y satisfaz |x y|\ge 1. Em notação conveniente:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x y|\ge 1\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x y|\ge 1\}

Exercícios relacionados