Determine o conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos
nos quais a função
é contínua.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A função é
. - Não foi dada uma definição adicional de
, logo deve-se usar a definição padrão (inversa da função secante em seu ramo principal).
Passo 2
Entender onde
está definida (domínio) e se é contínua ali.
- A função secante é
. Como toma valores em , a secante tem imagem fora do intervalo : isto é, . - A função
é, por definição, a inversa restrita da secante sobre um ramo adequado; portanto o domínio de (como função real) é
ou de forma compacta
Logo, para que
esteja definida, é necessário que
pertença a esse conjunto.
Passo 3
Mostrar que
é contínua em todo o seu domínio. Uma maneira prática e clara:
- Para
com vale a fórmula
(Verificação intuitiva:
equivale a
, portanto
no ramo adequado.)
- A função
é contínua para ; em particular é contínua em todo com . - A função
é contínua em . Como quando , a composição é contínua em todo .
Portantoé contínua em todo o seu domínio .
Passo 4
Aplicar continuidade por composição à função
.
- Defina
. A função é contínua em todo (produto de funções contínuas). - Já vimos que
é contínua em cada ponto do conjunto . - Para a composição
ser bem definida num ponto é necessário satisfazer . Sempre que isso ocorrer, como é contínua e é contínua no valor , a composição será contínua em .
Portanto todo pontotal que é ponto de continuidade de .
Passo 5
Verificação dos pontos na fronteira
. (Tranquilo — são incluídos.)
- Se
, então quaisquer sequências em que e têm e, como é contínua à direita de no seu domínio, tem-se . Assim é contínua em . Argumento análogo vale para . - Não há aproximação dentro do domínio que force abordagem por valores fora de
porque é contínua e os valores do produto próximos a obrigatoriamente vêm de pontos com produto próximo de dentro do domínio. Logo não há descontinuidade “surpresa” nesses pontos da fronteira.
Assim os pontos com
também são pontos de continuidade de
.
Passo 6
Conclusão final: o conjunto de continuidade de
é exatamente o conjunto de definição que encontramos, ou seja, todos os pares
tais que o produto
satisfaz
. Em notação conveniente: