Determine os limites, caso existam.
Mostre pela definição que \lim _{P \rightarrow(3,2)}(3 x-4 y)=1.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre, pela definição de limite em duas variáveis, que
\lim_{P\to(3,2)}(3x-4y)=1.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x,y)=3x-4y.
  • O ponto a que P=(x,y) se aproxima é (3,2).
  • Calcular o valor de f no ponto e identificar o candidato a limite:
f(3,2)=3\cdot 3-4\cdot 2=9-8=1.
  • Objetivo: provar, usando a definição \varepsilon- \delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta, então |3x-4y-1|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição de limite (em palavras e em fórmula): dizer que
\lim_{(x,y)\to(3,2)} f(x,y)=1
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-1|<\varepsilon.
Aqui \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} é a distância euclidiana entre P=(x,y) e (3,2). O objetivo prático é obter uma desigualdade do tipo |f(x,y)-1|\le C\cdot \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} para algum constante C, o que permite escolher \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Começar manipulando a diferença que queremos tornar pequena:
|f(x,y)-1| = |3x-4y-1|.
Reescrevendo em termos das diferenças dos componentes em relação ao ponto (3,2),
3x-4y-1 = 3(x-3)-4(y-2),
portanto
|3x-4y-1| = |3(x-3)-4(y-2)|.

Passo 4

Aplicar a desigualdade triangular (que diz que |a+b|\le|a|+|b| para quaisquer reais a,b) e sair dos parênteses as constantes:
|3(x-3)-4(y-2)| \le 3|x-3| + 4|y-2|.
Explicando: multiplicar por constante positiva c satisfaz |c\cdot t| = c|t|; depois soma em módulo é no máximo soma dos módulos.

Passo 5

Relacionar |x-3| e |y-2| com a distância euclidiana r:=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}. Observação elementar:
|x-3| \le \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=r, \qquad |y-2| \le r.
Justificativa rápida: (x-3)^2\le (x-3)^2+(y-2)^2, então, tomando raiz não-negativa, obtém-se |x-3|\le r (mesma razão para y).

Passo 6

Combinar as desigualdades dos passos anteriores:
|3x-4y-1| \le 3|x-3|+4|y-2| \le 3r+4r = 7r.
Logo
|3x-4y-1| \le 7\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}.

Passo 7

Escolher \delta em função de \varepsilon. Se exigimos que 7\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\varepsilon, basta pedir que \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\varepsilon/7. Logo uma escolha conveniente é
\delta = \frac{\varepsilon}{7}.
Verificação formal: seja qualquer \varepsilon>0 e escolha \delta=\varepsilon/7. Se 0<\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta, então pelas desigualdades acima
|3x-4y-1| \le 7\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7}=\varepsilon.
Isso demonstra exatamente a condição da definição de limite.

Passo 8

Conclusão final: para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon/7>0 com a propriedade exigida, portanto
\lim_{(x,y)\to(3,2)}(3x-4y)=1.

Resposta

1

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