Determine os limites, caso existam.
Mostre pela definição que
.
Mostre pela definição que
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, pela definição de limite em duas variáveis, que
Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - O ponto a que
se aproxima é . - Calcular o valor de
no ponto e identificar o candidato a limite:
- Objetivo: provar, usando a definição
- , que para todo existe tal que, sempre que , então .
Passo 2
Recordando a definição de limite (em palavras e em fórmula): dizer que
significa que para todo
existe
tal que
Aqui
é a distância euclidiana entre
e
. O objetivo prático é obter uma desigualdade do tipo
para algum constante
, o que permite escolher
em função de
.
Passo 3
Começar manipulando a diferença que queremos tornar pequena:
Reescrevendo em termos das diferenças dos componentes em relação ao ponto
,
portanto
Passo 4
Aplicar a desigualdade triangular (que diz que
para quaisquer reais
) e sair dos parênteses as constantes:
Explicando: multiplicar por constante positiva
satisfaz
; depois soma em módulo é no máximo soma dos módulos.
Passo 5
Relacionar
e
com a distância euclidiana
. Observação elementar:
Justificativa rápida:
, então, tomando raiz não-negativa, obtém-se
(mesma razão para
).
Passo 6
Combinar as desigualdades dos passos anteriores:
Logo
Passo 7
Escolher
em função de
. Se exigimos que
, basta pedir que
. Logo uma escolha conveniente é
Verificação formal: seja qualquer
e escolha
. Se
, então pelas desigualdades acima
Isso demonstra exatamente a condição da definição de limite.
Passo 8
Conclusão final: para todo
existe
com a propriedade exigida, portanto
Resposta
1