Determine o conjunto em que a função é contínua:
(4) (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde a função
é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e frações. Precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo e que o denominador da fração não seja zero.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. Então, para a nossa função
ser válida, precisamos que:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, ou seja:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser fatorado como
, então:
Aqui, cancelamos o termo
no numerador e denominador, mas isso só é válido se
.
Passo 4
Agora, a expressão simplificada fica:
Para que essa fração seja positiva, o denominador
deve ser positivo, ou seja:
E lembrando que já temos a condição
para o cancelamento que fizemos anteriormente.
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
-
(para que ) -
(para que a simplificação seja válida)
Portanto, a função
é contínua para todos os pares
que satisfazem essas duas condições.
Resposta
A função
é contínua no conjunto
.