Determine o conjunto em que a função é contínua:
nabla(x, y)=ln (x+yx^2-y^2)
R= (4) (a) (x, y) in R^2 ; x>y, x neq-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde a função nabla(x, y) = ln (x+yx^2-y^2) é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e frações. Precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo e que o denominador da fração não seja zero.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural, ln(u), só está definido quando u > 0. Então, para a nossa função ln (x+yx^2-y^2) ser válida, precisamos que:
x + yx^2 - y^2 > 0
Além disso, o denominador x^2 - y^2 não pode ser zero, ou seja:
x^2 - y^2 neq 0

Passo 3

Vamos simplificar a expressão x + yx^2 - y^2. Sabemos que x^2 - y^2 pode ser fatorado como (x - y)(x + y), então:
x + yx^2 - y^2 = x + y(x - y)(x + y) = 1x - y
Aqui, cancelamos o termo (x + y) no numerador e denominador, mas isso só é válido se x + y neq 0.

Passo 4

Agora, a expressão simplificada fica:
1x - y > 0
Para que essa fração seja positiva, o denominador x - y deve ser positivo, ou seja:
x - y > 0 Rightarrow x > y
E lembrando que já temos a condição x + y neq 0 para o cancelamento que fizemos anteriormente.

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. x > y (para que 1x - y > 0)
  2. x + y neq 0 (para que a simplificação seja válida)
Portanto, a função nabla(x, y) é contínua para todos os pares (x, y) que satisfazem essas duas condições.

Resposta

A função nabla(x, y) é contínua no conjunto (x, y) in R^2 ;, x > y e x neq -y.

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