Considere a EDO a cdot d^2 yd x^2+b cdot d yd x+c y=0 com a, b c in R tais que b^2-4 a c=0 e a neq 0.
Mostre que:
y1(x)=e^-b2 a x é solução da EDO.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau na forma:
a cdot d^2 yd x^2 + b cdot d yd x + c y = 0
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são números reais, com $ a \neq 0 $ e $ b^{2} - 4ac = 0 $. O objetivo é mostrar que a função:
a
é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e substituir a função dada na equação para verificar se ela realmente satisfaz a EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma EDO, a gente precisa calcular suas derivadas e substituir na equação. Então, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de $ y_{1}(x) $.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de $ y_{1}(x) $:
y1(x)
Agora, calculando a segunda derivada:
y1'(x) = ddx ( e^-b2a x ) = -b2a e^-b2a x

Passo 4

Agora que temos $ y_{1}(x) $, $ y_{1}’(x) $ e $ y_{1}’’(x) $, vamos substituir essas expressões na EDO original:
y1(x)
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo: $ a \cdot \frac{b{2}}{4a{2}} e^{-\frac{b}{2a} x} = \frac{b^{2}}{4a} e^{-\frac{b}{2a} x} $
  2. Segundo termo: $ b \cdot -\frac{b}{2a} e^{-\frac{b}{2a} x} = -\frac{b^{2}}{2a} e^{-\frac{b}{2a} x} $
  3. Terceiro termo: $ c \cdot e^{-\frac{b}{2a} x} = c e^{-\frac{b}{2a} x} $
Agora, somando todos os termos:
y1'(x)
Podemos fatorar $ e^{-\frac{b}{2a} x} $:
y1''(x)
Simplificando dentro dos parênteses:
a cdot ( b^24a^2 e^-b2a x ) + b cdot ( -b2a e^-b2a x ) + c cdot e^-b2a x = 0
Mas sabemos que $ b^{2} - 4ac = 0 $, ou seja, $ b^{2} = 4ac $. Substituindo:
a cdot b^24a^2 e^-b2a x = b^24a e^-b2a x
Então, a equação fica:
b cdot -b2a e^-b2a x = -b^22a e^-b2a x

Resposta

Portanto, $ y_{1}(x) = e^{-\frac{b}{2a} x} $ é de fato uma solução da EDO dada.

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