Considere a
tais que
e
.
Mostre que:
é solução da EDO.
Mostre que:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau na forma:
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são números reais, com $ a \neq 0 $ e $ b^{2} - 4ac = 0 $. O objetivo é mostrar que a função:
é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e substituir a função dada na equação para verificar se ela realmente satisfaz a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma EDO, a gente precisa calcular suas derivadas e substituir na equação. Então, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de $ y_{1}(x) $.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de $ y_{1}(x) $:
Agora, calculando a segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos $ y_{1}(x) $, $ y_{1}’(x) $ e $ y_{1}’’(x) $, vamos substituir essas expressões na EDO original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo: $ a \cdot \frac{b{2}}{4a{2}} e^{-\frac{b}{2a} x} = \frac{b^{2}}{4a} e^{-\frac{b}{2a} x} $
- Segundo termo: $ b \cdot -\frac{b}{2a} e^{-\frac{b}{2a} x} = -\frac{b^{2}}{2a} e^{-\frac{b}{2a} x} $
- Terceiro termo: $ c \cdot e^{-\frac{b}{2a} x} = c e^{-\frac{b}{2a} x} $
Agora, somando todos os termos:
Podemos fatorar $ e^{-\frac{b}{2a} x} $:
Simplificando dentro dos parênteses:
Mas sabemos que $ b^{2} - 4ac = 0 $, ou seja, $ b^{2} = 4ac $. Substituindo:
Então, a equação fica:
Resposta
Portanto, $ y_{1}(x) = e^{-\frac{b}{2a} x} $ é de fato uma solução da EDO dada.