Determine um conjunto fundamental de soluções para a equação x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0. Confirme que as soluções obtidas formam de fato um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

A equação
x^{2}y'' + x y' + y = 0
é uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem no domínio x>0. Para resolvê-la, vamos usar o método da solução do tipo
\;y = x^{r},
que leva a uma equação algébrica (a “equação indicial”) para r.

Passo 2

Assumindo y = x^{r}, temos
y' = r\,x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr) + x\bigl(r x^{r-1}\bigr) + x^{r} = 0
\Longrightarrow r(r-1)x^{r} + r x^{r} + x^{r} = 0
\Longrightarrow \bigl[r(r-1) + r + 1\bigr] x^{r} = 0.

Passo 3

A equação indicial é
r(r-1) + r + 1 = r^{2} + 1 = 0,
cuja solução é
r = \pm i.

Passo 4

Portanto, a solução geral complexa é
y = C_{1}\,x^{i} + C_{2}\,x^{-i}.
Como
x^{i} = e^{i\ln x} = \cos(\ln x) + i\sin(\ln x),
podemos extrair duas soluções reais independentes.

Passo 5

Escolhemos como conjunto fundamental as funções reais
y_{1}(x) = \cos\bigl(\ln x\bigr), \quad y_{2}(x) = \sin\bigl(\ln x\bigr).

Passo 6

Para confirmar a independência linear, calculemos o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} \cos(\ln x) & \sin(\ln x)\\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Como
y_{1}'(x) = -\frac{1}{x}\,\sin(\ln x), \quad y_{2}'(x) = \frac{1}{x}\,\cos(\ln x),
temos
W = \cos(\ln x)\,\frac{\cos(\ln x)}{x} - \sin(\ln x)\Bigl(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\Bigr) = \frac{\cos^{2}(\ln x) + \sin^{2}(\ln x)}{x} = \frac{1}{x}\neq 0
para todo x>0. Assim, y_{1} e y_{2} são independentes.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é
\bigl\{\cos(\ln x),\,\sin(\ln x)\bigr\}.

Exercícios relacionados