Quais devem ser os valores de a e b para que a integral
\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) d x
tenha o seu valor máximo? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha os limites a e b de forma a maximizar a integral
\int_{a}^{b}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais definidas e análise do sinal da função f(x)=x - x^{2}. Vamos precisar do antiderivada de f e estudar onde f é positiva ou negativa.

Passo 2

Calculamos a primitiva de f(x)=x - x^{2}. Basta integrar termo a termo:
F(x) = \int\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx = \int x\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Observe o sinal de f(x)=x - x^{2}. As raízes são x=0 e x=1. Para x\in(0,1) temos
x - x^{2} > 0,
enquanto para x<0 ou x>1 a função é negativa. Logo, toda área positiva sob o gráfico está em [0,1], e fora desse intervalo a contribuição diminui o valor da integral.

Passo 4

Defina
G(a,b) = \int_{a}^{b}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx = F(b) - F(a).
Para maximizar G, olhamos as derivadas parciais:
  • \partial G/\partial b = f(b) = b - b^{2}, que em [0,1] é não–negativa e só zera em b=0 ou b=1. Como queremos o ponto de máximo em que G cresça até o limite, escolhemos b=1.
  • \partial G/\partial a = -f(a) = -(a - a^{2}), que em [0,1] é não–positiva e só zera em a=0 ou a=1. Para maximizar G, devemos tornar a o menor possível dentro da zona positiva, ou seja a=0.

Passo 5

Portanto, a integral atinge valor máximo quando
a = 0 \quad\text{e}\quad b = 1.
O valor máximo é
F(1) - F(0) = \Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\Bigr) - 0 = \tfrac{1}{6}.

Resposta

a=0 e b=1.

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