Quais devem ser os valores de
e
para que a integral
tenha o seu valor máximo? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha os limites
e
de forma a maximizar a integral
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais definidas e análise do sinal da função
. Vamos precisar do antiderivada de
e estudar onde
é positiva ou negativa.
Passo 2
Calculamos a primitiva de
. Basta integrar termo a termo:
Passo 3
Observe o sinal de
. As raízes são
e
. Para
temos
enquanto para
ou
a função é negativa. Logo, toda área positiva sob o gráfico está em
, e fora desse intervalo a contribuição diminui o valor da integral.
Passo 4
Defina
Para maximizar
, olhamos as derivadas parciais:
-
, que em é não–negativa e só zera em ou . Como queremos o ponto de máximo em que cresça até o limite, escolhemos . -
, que em é não–positiva e só zera em ou . Para maximizar , devemos tornar o menor possível dentro da zona positiva, ou seja .
Passo 5
Portanto, a integral atinge valor máximo quando
O valor máximo é