Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x+2 y+z=0 \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço W\subset V=\mathbb{R}^3 definido por
2x + 2y + z = 0.
O conteúdo é encontrar um gerador de um subespaço dado por uma equação linear, parametrizando as incógnitas.

Passo 2

Da equação
2x + 2y + z = 0
isolamos z:
z = -2x - 2y.

Passo 3

Definimos parâmetros s = x e t = y, com s,t\in\mathbb{R}. Logo,
(x,y,z) = (s,\,t,\,-2s-2t) = s\,(1,0,-2) + t\,(0,1,-2).

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor de W é combinação linear de (1,0,-2) e (0,1,-2). Portanto esses vetores geram W.

Resposta

\{(1,0,-2),\,(0,1,-2)\}.

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